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《重庆专升本 高数复习题 (1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高等数学习题解析一、函数、极限与连续1.求下列函数的定义域:(1)=+，(2)=.解(1)由所给函数知,要使函数有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即推得这两个不等式的公共解为与所以函数的定义域为. (2)由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即推得即,因此，所给函数的定义域为.2.设的定义域为，求的定
2、义域.解：令,则的定义域为,（k,k+）,k, 的定义域为（k,k+）,k.3.设=，求，.解：===(1,0), ===(0,1).4.求下列极限：（1）,（2）,解：原式=解:原式===2.（抓大头）=.（恒等变换之后“能代就代”）（3）,（4）, 解：原式=解：时,=, =.（恒等变换之后“能代就代”）原式===.（等价）（5）,（6）， 解：原式=解：原式==0+100 =100（无穷小的性质）．(7)． 解:原式=．（抓大头） （8）. 解：因为而，求该
3、式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为，所以当时，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即． （9）． 解：不能直接运用极限运算法则，因为当时分子，极限不存在，但是有界函数，即而，因此当时，为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得. （10）． 解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限 原式==．（也可用洛必达法则） （11）. 解一原式==， 解二原式==．（12）． 解：== =（）．（等价替换）1.求下列极限 （1）
4、（2）（3） （4）（5） 解：（1）由于时，，故原极限为型，用洛必达法则 所以（分母等价无穷小代换） . （2）此极限为，可直接应用洛必达法则所以= . （3）所求极限为型，不能直接用洛必达法则，通分后可变成或型. . （4）所求极限为型，得 （型） == （5）此极限为型，用洛必达法则，得 不存在，因此洛必达法则失效！但. 2.求下列函数的极限：（1），（2）当为何值时，在的极限存在.
5、解：(1),,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在． （2）由于函数在分段点处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点处的左极限与右极限．于是，有，，为使存在，必须有=，因此，当=1时，存在且=1．1.讨论函数，在点处的连续性．解：由于函数在分段点处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点处的左极限与右极限．因而有，而即 ， 由函数在一点连续的充要条件知在处连续．2.求函数的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知的间断点为.而在处无定义，故为其可去间断点.又为的无
6、穷间断点.综上得为的可去间断点,为的无穷间断点.二、一元函数微分学1.判断：（1）若曲线=处处有切线，则=必处处可导.答：命题错误.如：处处有切线，但在处不可导.（2）若（为常数），试判断下列命题是否正确.①在点处可导,②在点处连续,③=.答：命题①、②、③全正确.(3)若，在点处都不可导，则点处也一定不可导.答：命题不成立.如：==，在=0处均不可导，但其和函数+=在=0处可导.（4）若在点处可导，在点处不可导，则+在点处一定不可导.答：命题成立. 原因：若+在处可导，由在处点可导知=[+]在点
7、处也可导，矛盾.（5）与有区别.答：命题成立. 因为表示处的导数;表示对处的函数值求导，且结果为.（6）设在点的某邻域有定义，且=，其中为常数，下列命题哪个正确？①在点处可导，且,②在点处可微，且,③（很小时）.答：①、②、③三个命题全正确.1.已知，利用导数定义求极限.解： = ===0.2.求，的导数.解：当时，， 当时，， 当时，，所以， ，因此，于是3.设，求解：, .4.已知求.解：两端对求导，得， ，整理得，故，上式两端再对求导，得 =，将代入上式，得
8、 .5.求=的导数解：两边取对数： =,两边关于求导： ,.6.设，求.解：令,两边取对数得：,两边关于求导数得：即.1.设求和.解：=, =.2.,求.解：,,,.3.设求.解：， .4.求曲线在点（1，1）处切线的斜率. 解：由题意知：, , 曲线在点（1，1）处切线的斜率为35.求函数的微分. 解一用微分的定义求微分，有 . 解二利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得 .6
