[理学]导数的涵义及其应用的几点说明

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1、导数的涵义及其应用的几点说明导数，既能深刻地表示函数变化的规律自然就成为研究函数的重要工具。下面就导数的概念及其在解题中的应用做一下详细的阐述，其中重点探讨一下函数的单调性、极值、凸凹性以它们的应用。一、数的引入导数是由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。又称变化率。如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x与时间t的关系为f（x＝t），那么汽

2、车在由时刻很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ，自然就把极限变到这段时间内的平均速度是，当与很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在 到这段时间内的运动变化情况 ，自然就把极限 作为汽车在时刻的瞬时速度，这就是通常所说的速度。一般地，假设一元函数 在 点的附近内有定义，当自变量的增量时函数增量 与自变量增量之比的极限 存在且有限，就说函数f在点可导，记作，称之为f在点的导数（或变化率）。若函数f在区间I 的每一

3、点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作，称之为f的导函数，简称为导数，导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。函数在点的导数的几何意义：，表示曲线l 在 点的切线斜率。导数的符号有，，，，等，通常用得较多的是和。二、下面举几个求求导数的例子求导数的几种方法：1.用定义：1.有理运算：（）2.反函数：设函数在点可导，且，又在点附近严格单调且连续，则其反函数在点可导，且3.隐函数：4.参数方程5.对数方法：6.高阶导数：7.不可导性             ①f(x)在x=x0处不连续②②在x0处左右

4、导数至少有一个不存在③③左右导数存在但不相等8.可导必可微求导例解：[例一]设求解：令令[例二].设解：易求出用归纳法可证明：三、导数的应用1.函数的单调性我们可以用初等代数的方法讨论函数的单调性，但是，由于方法的限制，这些讨论既不全面又不深入，并且计算烦琐不易掌握规律。这里导数为我们更广泛更深入地研究函数的单调性提供了有利的工具。单调性的充要条件：定理1：若函数在内可导，则函数在内单调增加（或单调减少）的充要条件是：在内，（或）。定理2：（严格单调的充分条件）若在区间内（或），则函数在内严格单调增加（严格单

5、调减少）。定理3：设函数在内可导，则函数在内严格单调增加（或严格单调减少）的充要条件是：若（非退化）区间则至少有一点，使。单调性判定定理的应用与单调区间的求法：前三个定理用导数刻画了函数的单调性要讨论函数的严格单调性，只需要求出该函数的导数，确定它的函数取正的区间和负的区间。实际上，只要求出这些函数的分界点。对于可导函数有定理：定理4：若函数在内可导，为内的一点，在的符号与在内的相反，则推论：若函数在内可导，其导数在内恒不为零，则在内保持相同的符号。可导函数的严格单调区间的分界点应是方程的根，对于一般的函数严

6、格单调区间的分界点，不是方程的根，就是导函数的根。根据以上定理可得，讨论函数的严格单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（1）求导数，并求出的根及的根，并按从小到大的顺序排列.作为分界点；（2）用分界点将定义域分成若干个开区间，并确定在每个区间内的符号；（3）若在某区间内，，那么在此区间内严格增加，否则严格减少。例1.讨论函数的单调性，并求出单调区间。解：函数的定义域为，对此函数求导，得：令，得。因为在内，故函数在是单调减少的。又因为在区间内，，所以函数在内是单调增加的。例2.讨论函数的单调性。解：该函数的

7、定义是的实数，令得，它们将定义域分成四个开区间，，，因为，，，，于是由定理2知，函数在区间与内严格增加；在区间与内严格减小。作表如下：+--+1.函数的极值及判别法函数的极大与极小：一个连续函数，如果在以前是增大的，而以后是减小的，则在这一点有一个极大值；反之一个连续函数，如果在以前是减小的，而以后是增大的，则在这一点有一个极小值。函数的这种极大极小值，不论对研究函数的性质，还是解决某些实际问题，都是很有价值的。下面我们就来具体研究一下函数的极值问题。定理1：设函数在点可导，则在取得极值的必要条件是。定理2：

8、（第一判别法）设函数在点连续，在内可导，则①如果在时，，而在时，，那么在点取得极大值；②如果在时，，而在时，，那么在点取得极小值；③如果在与时，有相同的符号，那么在点没有极值；定理3：（第二判别法）设为的稳定点且存在且不等于零，则①如果，那么在点取得极大值；②如果，那么在点取得极小值。定理4：（第三判别法）如果在点的一阶，二阶，…，直到阶的导数都等于零，但，则①当n为奇数时，在点没有极值；②当n为偶