导数的几何意义的应用

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1、《导数的几何意义的应用》教学设计[教材分析]导数是高中数学学习的重要内容，复习中应重点关注导数的应用，纵观各地的高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容，内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。而其中的切线方面的求法涉及到导数的几何意义的应用，学好了它对其数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在复习时，有必要再对其进行专题复习。[学生分析]学生虽然已经学完了导数，也对导数的几何意义有了一定的认识，但由于学生容易忽略对点与曲线位置关系的判断，并对点在曲线外的求解方法还不能熟练掌握。因此有必要对此内容进

2、行专题训练使学生能更好地掌握。[教学目标]1.知识与技能：会用导数的几何意义解决数学问题。2..方法与过程：通过探究导数的几何意义的应用，培养学生自主探究和解决问题的能力，锻炼学生的思维品质。3.情感与态度：由导数的几何意义引入问题，利用探究题、开放性题深化了对该知识的理解，借助于多媒体教学手段，给学生提供了思维的直观想象。通过学生主动参与，体验导数的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会。[教学重点]利用导数的几何意义解决数学问题。[教学难点]过曲线外一点求曲线的切线

3、方程。[教学准备]多媒体辅助教学（利用实物投影进行教学）[教学方法]启发探究式（教师设问引导，学生自主探究，合作解决）[教学过程]求过曲线上一点的切线方程一、复习导入，构建知识网络：判断函数的单调性导函数导数的运算导数的应用判断函数的极大（小）值求函数的最大（小）值生活中的优化问题求简单函数的导数导数的几何意义导数的定义导入：本节课重点复习——导数的几何意义的应用设计意图：由于学生回忆以往知识，用实物投影仪以框图的形式给出，让学生对导数有一个全面的了解，形成脑图。引导学生从“整体”到“局部”再到“整体”的认知规律

4、，是高三专题课“整体化”的教学思想的体现。二、探索研究，引导归纳活动一：探究求曲线上一点的切线方程的方法尝试题：课本P123例3：已知曲线y=x3上一点p(2,)，求点p处的切线方程。分析：关键求切线的斜率。解法：由导数的几何意义得y＇=x2，则=22=4。所以，在点p处的切线方程是y-=4(x-2)，即12x-3y-16=0。设计意图：通过课本中的例题创造导数几何意义的应用的环境，为探究题作铺垫。活动二：探究过曲线外一点求曲线方程的方法。探究题：求曲线C:y=x3-3x过点P(0,16)的切线方程。分析：要注意

5、到该点在曲线外，解此题的关键是将该问题转化为点在曲线上的问题。解法一：点斜式（常规法）设过点A(0,16)且与曲线y=x3-3x相切的切点的坐标为（x0,y0），由导数的几何意义得：=3x2-3得k=(x0)=3x02-3，由直线方程的点斜式得y-16=(3x02-3)（x-0）又（x0,y0）在其上y0=x03-3x0。所以x03-3x0=3x03-3x0=16，2x03=-16，x0=-2，故所求切线方程为9x-y+16=0。解法二：两点斜率（公式法）设切点坐标为（x0,y0）则=3x02-3，又y0=x03

6、-3x0，所以x03-3x0-16=3x03-3x0，解得x0=-2。故所求切线的方程为9x-y+16=0。设计意图：探究题旨在给不同层次的学生留有学习的空间，培养独立思考，善于思考的好习惯。三．拓展探索，开放思维开放题：求曲线y=4x2上的点到直线y=2x-1的距离的最小值。分析:法一：将问题转化为求曲线上哪一点处的导数值为2。法二：将问题转化为直线与圆锥曲线的位置关系的判断以及求解问题。法三：将问题转化为求二次函数最值问题。解法一（导数法）：设点（x0,y0）即（x0,4y0）到直线y=2x-1的距离最小，亦

7、即该点处的导数值为2。所以，

8、x=x=8x0=2,所以x0=，y0=4x02=4×=。又（，）到直线y=2x-1的距离d==。解法二（判别式法）：设过曲线y=4x2上的点且与直线y=2x-1平行的曲线的切线方程为y=2x+b(或设与直线y=2x-1平行的曲线的切线方程为y=2x+b)，由得4x2-2x-b=0由该直线与曲线相切得△=0，即△=（-2）2-4×4×（-b）=0，4+16b=0，16b=-4，b=-，故切线方程为2x-y-=0此直线与直线2x-y-1=0间的距离为d=。解法三（公式法）：设曲线y=4x

9、2上点（x0,y0）到直线y=2x-1的距离为d，则由到直线的距离公式有d=，当x0=时，dmin=。设计意图：此开放性题借助数形结合，提供思维想象载体，使问题更直观，利用转化思想通过不同的角度和途径解决一个共同的研究，旨在促进前后知识的融会贯通，发散学生的思维，培养学生良好的思维品质由师生共同完成。四、总结转新先由学生概括总结本节课的主要内容，然后教师补充。1.利用导数