数学物理方程-第三章分离变量法

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1、第三章贝塞尔函数对两个自变量的情形，在第二章中比较系统地介绍了分离变量法的基本思想以及求解偏微分方程定解问题的主要步骤.本章讨论多于两个自变量的情形，其求解过程和两个自变量情形基本相同，区别仅在于特征值问题的求解要用到一类特殊函数—贝塞尔（Bessel）函数.本章前两节围绕一类特征值问题的求解，比较系统地介绍二阶常微分方程的幂级数解法，以及Bessel函数的一些基本性质.第三节介绍多于两个自变量情形的分离变量法.§31二阶线性常微分方程的幂级数解法3.1.1常系数线性方程的基解组在高等数学中，同学们已学过常微分方程的一

2、些求解方法.对于常系数线性常微分方程，只要求出特征方程的根，就很容易写出齐次方程的基解组，由此可得齐次方程通解表达式.例1.1求解下列齐次微分方程(1).(2).(3).解(1)特征方程为，特征根为故基解组为.（2）特征方程为，特征根为，是一对共轭复数，基解组为，这两个解为复值函数.为得到实值函数的基解组，利用齐次微分方程解的线性性质得，，这两个实值函数也是方程（2）的解,由此得方程（2）的基解组为.（3）特征方程为，103特征根为，即是二重特征根.此时，由特征根只能写出微分方程（3）的一个解为.为求方程（3）另一个与

3、解线性无关的解，要用到求解微分方程的摄动方法，即，考虑齐次方程，（1.1）（1.1）称为方程（3）的摄动方程.易得（1.1）的特征根为,由此可得（1.1）的基解组为.利用齐次微分方程解的线性性质可得：，，（1.2）仍是（1.1）的解.当趋于零时，方程（1.1）趋向于（3）中的方程.可以证明，（1.1）的解关于参数是连续的，即当趋于零时，（1.2）中的也趋向于（3）中方程的一个解.利用罗比塔法则可得，此即微分方程（3）的另一个与解线性无关的解.因此方程（3）的基解组为.例1.2求解下列齐次微分方程(1).(2).（3）.

4、解（1）特征方程为，因式分解为,特征根为，故基解组为.（2）特征方程为，103因式分解为,由此可得特征根为，故基解组为.（3）特征方程为，因式分解为,特征根为而和都是该特征方程的二重根，由此可得方程（3）的基解组为.3.1.2变系数线性方程的幂级数解法对于变系数线性常微分方程，要求出齐次方程的基解组绝非易事.若方程为二阶，可用待定系数法求出某种级数形式的基解组或一个非零解.有关这方面的理论和方法已比较成熟，有兴趣的同学可查阅参考文献.下面，我们不加证明地给出本门课程中要用到的两个主要结果，作为今后求解一些特征值问题的理

5、论基础.定理1.1考虑下面二阶变系数线性常微分方程，（1.3）如果在的邻域解析，即在该邻域可展成Taylor级数，则方程（1.3）有如下形式的解析解，（1.4）其中可由待定系数法求出.定理1.2考虑下面二阶变系数线性常微分方程，（1.5）如果在的邻域解析，即最多为和的一阶和二阶极点.则在该去心邻域，103方程（1.5）有如下形式的级数解，（1.6）其中，.，可由待定系数法求出.下面应用定理1.1求解一些变系数线性常微分方程，而定理1.2的应用则放在下节.例1.3求解下列方程（1）.（2）.解（1）此题中，它们都是R上解

6、析函数.根据定理1.1，可设解为.将该级数求一阶和二阶导数并将和代入到原方程中得，或，令上式中系数为零可得，，此即.（1.7）由（1.7）易得.将上面的结果代入到得103其中表示的半阶乘，其值为小于或等于的一切偶正整数之乘积，而值为小于或等于的一切奇正整数之乘积,为任意常数.由于和线性无关，故方程（1）的基解组为.（2）此题中，它们都是上的解析函数.根据定理1.1，可设解为.将该级数及二阶导数代入到原方程中得，或.（1.8）将的Taylor级数，代入到（1.8）中得，展开可得，由此可得将上面的结果代入到得其中为任意常数

7、，为方程（2）的基解组.例1.3求解下面方程103（1.9）其中为非负实数.解此题中,这两个函数在区间，即内解析.根据定理1.1，可设解为.将该级数及一阶和二阶导数代入到原方程中得，或.令上式中系数为零可得此即（1.10）连续使用（1.10）可得:,，.将上面的结果代入到得（1.11）其中为任意常数，为Legendre方程的基解组.注1当不等于整数时，（1.11）中和是两个无穷级数，它们在区间收敛，而在该区间两个端点发散到无穷大.当等于整数时，例如，，由上面的表达式易见：若为偶数，则；若103为奇数，则.因此，当为正整

8、数时，和其中之一是一个次多项式.§32贝塞尔函数本节介绍一类特殊函数—贝塞尔（Bessel）函数，为分离变量法的进一步应用作准备.3．2.1函数考虑广义积分，由广义积分敛散性判别法可得，当时，该广义积分收敛.将此广义积分记为，即（2.1）此函数称为函数，它对任意的有定义且.具有如下性质（1），.（2.2）（2），.（2.3）下面给