《幂级数展开》word版

《《幂级数展开》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第三章幂级数展开3.1复数项的级数一．复数的无穷级数可表示为：（1）其中：前n项和为：=当时级数：级数：故一个复数项级数可分解为实部项级数可虚部项级数两个级数的组合收敛问题是线性讨论级数的一个重要方面，而复数项级数的收敛问题可以归结为两个实数项级数（实部和虚部）的收敛1.柯西收敛判据：一个级数还可写为：（4）其中是钱n项和为余项判据：任何一个小正数若能找到一个N使得n>N时则称收敛，其中p为任意整数2.绝对收敛若是收敛的，则绝对收敛两个敛的级数相乘后所得的级数耶是绝对收敛的，其和等于相乘级数和的乘积二．复变项级数（复变函数项级数）1．函数项级数

2、一般表示为：（5）函数项级数的收敛问题得涉及到z的取值域，若z在B上取值是（5）收敛，则称在B上收敛。B称为的收敛域函数项级数也可表示为：（6）2.函数项级数的收敛如在B上，对于个点任意给，若存在N使得n>N时有则称级数在B上一致收敛3.收敛级数性质（1）在B上一致收敛的函数项级数的每一项都是B上的连续函数（2）在B上一致收敛的函数项级数的每一项都可积分逐项积分(3)若有，而是收敛的，则绝对且一致收敛3.2幂级数最典型也最常见的级数——即级数的各项都是幂函数(1)其中、、、都是复常数，这一的级数叫做以为中心展开的幂级数一.级数收敛判别法1.比值

3、判别法（达朗贝尔判别法）：若：（3）则（2）正项级数收敛，亦即级数（1）绝对收敛2.根值判别法若：（4）则级数（2）收敛，亦即级数（1）绝对收敛3.收敛域和收敛半径函数级数的收敛问题（从根本上）具体要涉及的是收敛u的问题即，z在什么样的范围内取值级数是收敛的，收敛判别法本身给出了z的取值范围：由判别法“1”：(5)则（6）为级数（1）的收敛半径只要满足的所有点其级数（1）都收敛则以为中心R为半径的区域是（1）的收敛区域，对应圆称（1）的收敛圆。由判别法“2”：收敛圆：（7）即有（8）这样我们就有了两种求收敛圆的方法以上的收敛判别是从绝对收敛的角

4、度考虑讨论，因此得到的收敛域比“全收敛域”要小，记载收敛域外仍有收敛的可能性。另外，由于（5）、（7）式是绝对不等号，故收敛的边界上够绝对收敛域，可作半径为的圆，使（稍小于）则称对应圆的“收敛内圆”级数在收敛内圆上是“一致收敛”例1，求级数的收敛圆及在收敛域内的收敛性解：利用此值判别法：在域内：公比为t推论：关于交错级数：收敛半径R=1公比为-t域内：例2设：其逐项求导或逐项求积的收敛半径不变解：收敛半径：例3求的收敛半径解：第k项小数：（）解法1：解法2：根值法例4已知和的收敛半径分别是和求和的收敛半径解：（1）为两个级数之和，由于两个收敛级

5、数的和也收敛，收敛域显然要取其中较小的一个：（1）令3.3泰勒级数的展开幂级数的和在其收敛圆的内部为解出函数例：反之：一个解析函数在其域内可写为幂（泰勒）级数定理：设在以为圆心的圆域内解析则对圆内任一点z,可写为幂（泰勒）级数：（1）其中（2）其中是的内圆证明从略结合（1）、（2）两式，函数的泰勒展开式（泰勒级数）可写为：（3）可以证明（略）由泰勒展开得到级数具有唯一性例1.将在附近展开为幂级数解：由（3）得：例2.将和在的附近展开解：可见每4阶导数完成一个循环：当时：级数只存在奇数项（偶数项为零）且：（2）.当时：所以级数只存在偶数项而奇数项

6、为零：回顾：定义的,显然：将的奇数项都消去，而只留下了偶数项（消去偶数项，留奇数项）例4.求以上、、在展开的级数的收敛域解：（2）此值判别：即：（1）同理：复习：利用函数的级数展开的唯一性质，很多级数不用直接一年泰勒展开式做例5.的展开解：令例6.求解：令例7.求，例8求和在处的展开解：是的原函数（级数经求导和求和后，收敛圆不变）3.4解析延拓将一个在一定区域b上解析的函数延拓到；一个更大的区域B上，此时在B上可以找到另一个函数，使得在b域上有这就称为解析的延拓例：在整个复平面解析但Z在处不解析若定义：（利用，并非随便找个函数来拼凑）显然在全复

7、平面解析，可视为的延拓（延拓至）3.5裸朗级数展开泰勒展开是将函数在解析域的展开，若在不解析域中（有奇点）时，就不能再将函数展为泰勒级数了在有奇点时，需要考虑在挖去奇点的环域上展开。（通常以奇点的心），此即为级数洛朗的展开。 一双边幂级数以前（1）称双边（向右）级数若有：（2）称单边（向左）级数而：（3）称为双边级数双边数的收敛域一般作一下判断：右单边：左单边：可设则左单边级数：设（4）的收敛半径为亦即（3左边的收敛域）合起来有：（5）称为（3）的收敛域（一般奇点被围在半径环内）二洛朗展开定理：设在环形区域的内部单值解析，则对环域上任一点z,可

8、为幂级数即：(6)其中：(7)积分路径c为环内的逆时针方向圆（闭合）定理的解读：域：环意味着环域上是而可能是奇点（6）式的展开称为洛朗展开，洛朗展开的