《求极限的方法》word版

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1、求函数极限的方法和技巧作者:黄文羊摘要:摘要本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。主要内容一、求函数极限的方法求函数极限的方法1、运用极限的定义例:用极限定义证明:x23x+2lim=1x→2x2证:由x23x+

2、2x24x+41=x2x2=(x2)2x2=x2ε>0取δ=ε则当0

3、x→x0g(x)limg(x)Bx→x0（IV）limcf(x)=climf(x)=cAx→x0x→x0（c为常数）上述性质对于x→∞,x→+∞,x→∞时也同样成立x2+3x+5例：求limx→2x+4解:limx→2x2+3x+522+32+55==x+42+42003、约去零因式（此法适用于x→x0时,型）例:求limx3x216x20x→2x3+7x2+16x+12解:原式=limx→2(x(x333x210x+(2x26x20)+5x2+6x+(2x2+10x+12)))=lim(x+2

4、)(x23x10)x→2(x+2)(x2+5x+6)2=lim(x5)(x+2)(x23x10)=lim2x→2(x+5x+6)x→2(x+2)(x+3)x5=7x+3=limx→24、通分法（适用于∞∞型）例:求lim(x→241)22x4x解:原式=lim4(2+x)x→2(2+x)(2x)(2x)x→2(2+x)(2x)11=x→22+x4=lim=lim5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x)满足：（I）limf(x)=0x→x

5、0(II)g(x)≤M则：limg(x)f(x)=0x→x0(M为正整数)例:求limxsinx→01x而解:由limx=0x→0sin1≤1x故原式=limxsinx→01=0x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。3（I）若：limf(x)=∞则lim1=0f(x)lim1=∞f(x)(II)若:limf(x)=0且f(x)≠0则例:求下列极限①limx→∞1x+5x→∞②limx→11x1limx→∞解:由由lim(x+5)=∞lim(x1)=0x→1故故1=0x+51lim=∞x→1x17、

6、等价无穷小代换法设α,α',β,β'都是同一极限过程中的无穷小量，且有：α~α,β~β，''α'lim'存在，βαα'=lim'ββ则limαβ也存在，且有lim例:求极限lim1cosx2x→0x2sinx21cosx2~(x2)22解:sinx2~x2,(x2)21cosx1∴lim2=222=x→0xsinx22xx2注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限

7、。4(A)limx→0sinx=1x1(B)lim(1+)x=ex→∞x但我们经常使用的是它们的变形：(A')limsin(x)=1,((x)→0)(x)1(x)(B')lim(1+)=e,((x)→∞)(x)例：求下列函数极限ax1(1)、limx→0x(2)、limx→0lncosaxlncosbx解：（）令ax1=u,则x=1ln(1+u)ax1ulna于是=lnaxln(1+u)又当x→0时，u→0故有：limax1ulnalnalna=lim=lim=lim=lna1x→0u→0ln(

8、1+u)u→0ln(1+u)u→0xln(1+u)uuln[(1+(cosax1)]x→0ln[1+(cosbx1)](2)、原式=limln[(1+(cosax1)]cosbx1x→0cosax1cosax1ln[1+(cosbx1)]cosbx1cosbx1=limx→0cosax1asin2x2αab2sin2x(x)2(x)2b22=lim2=lim2=2x→0x→0bba2sin2xsin2x(x)2a222b2(x)2=lim9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。5求