数一真题、标准答案及解析

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1、2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为__________.（2）已知，且f(1)=0,则f(x)=__________.（3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为__________.（4）欧拉方程的通解为.__________.（5）设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则__________.（6）设随机变量X服从参数为的指数分布，则=__________.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选

2、项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A).(B).(C).(D).[]（8）设函数f(x)连续，且则存在，使得(A)f(x)在（0，内单调增加.（B）f(x)在内单调减少.(C)对任意的有f(x)>f(0).(D)对任意的有f(x)>f(0).[]（9）设为正项级数，下列结论中正确的是(A)若=0，则级数收敛.（B）若存在非零常数，使得，则级数发散.钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-21-(C)若级数收敛，则.(D)若级数发散,则存在

3、非零常数，使得.[]（10）设f(x)为连续函数，，则等于(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.[]（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(A).(B).(C).(D).[]（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有(A)A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(B)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.(C)A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(D)A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.[]（13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的

4、，数满足，若，则等于(A).(B).(C).(D).[]（14）设随机变量独立同分布，且其方差为令，则(A)Cov((B).(C).(D).[]（15）（本题满分12分）设,证明.（16）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-21-注kg表示

5、千克，km/h表示千米/小时.（17）（本题满分12分）计算曲面积分其中是曲面的上侧.（18）（本题满分11分）设有方程，其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根，并证明当时，级数收敛.（19）（本题满分12分）设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值.（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.（21）（本题满分9分）设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化.(22)（本题满分9分）设A,B为随机事件，且，令求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（II）X和Y的相关系数（23）（本题满分9分）

6、设总体X的分布函数为钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-21-其中未知参数为来自总体X的简单随机样本，求：（I）的矩估计量；（II）的最大似然估计量.钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-21-2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为.【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标.【详解】由，得x=1,可见切点为，于是所求的切线方程为，即

7、.【评注】本题也可先设切点为，曲线y=lnx过此切点的导数为，得，由此可知所求切线方程为，即.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.（2）已知，且f(1)=0,则f(x)=.【分析】先求出的表达式，再积分即可.【详解】令，则，于是有，即积分得.利用初始条件f(1)=0,得C=0，故所求函数为f(x)=.【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分.（3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为.【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为