2009—数一真题、标准答案及解析

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1、2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当时，与等价无穷小，则(A).(B).(C).(D).-1-111（2）如图，正方形被其对角线划分为四个区域，，则(A).(B).(C).(D).（3）设函数在区间上的图形为1-2O23-11则函数的图形为(A)O231-2-11(B)O231-2-11-19-(C)O231-11(D)O231-2-11（4）设有两个数列，若，则（A）当收敛时，收敛.（B）当发散时，发散.(C)当收敛时，收敛.(D)当发散时，发散.（5）设是3维向量

2、空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为(A).(B).(C).(D).（6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为....-19-（7）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则(A).(B).(C).(D).（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.（9）设函数具有二阶连续偏导数，，则.（10）若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件

3、的解为.（11）已知曲线，则.（12）设，则.（13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为.(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差.若为的无偏估计量，则.三、解答题：15~23小题，共94分.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值.（16）（本题满分9分）设为曲线与所围成区域的面积，记，求与的值.-19-（17）（本题满分11分）椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成.（Ⅰ）求及的方程（Ⅱ）求与之间的立体体积.（18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗

4、日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.（19）（本题满分10分）计算曲面积分，其中是曲面的外侧.（20）（本题满分11分）设，.（Ⅰ）求满足的.的所有向量,.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,证明,,无关.（21）（本题满分11分）设二次型（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.-19-（Ⅰ）求；

5、（Ⅱ）求二维随机变量概率分布.（23）（本题满分11分）设总体的概率密度为，其中参数未知，，,…是来自总体的简单随机样本.(Ⅰ)求参数的矩估计量；（Ⅱ）求参数的最大似然估计量.-19-2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.（1）当时，与等价无穷小，则(A).(B).(C).(D).【答案】A.【解析】为等价无穷小，则故排除(B)、(C).另外存在，蕴含了故排除(D).所以本题选（A）.-1-111（2）如图，正方形被其对角线划分为四个区域，，则(A).(B).(C).(D)

6、.【答案】A.【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.两区域关于轴对称，而，即被积函数是关于的奇函数，所以;两区域关于轴对称，而，即被积函数是关于的偶函数，所以；-19-.所以正确答案为(A).（3）设函数在区间上的图形为1-2O23-11则函数的图形为(A)O231-2-11(B)O231-2-11(C)O231-11(D)O231-2-11【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：①时，，且单调递减.-19-②时，单调

7、递增.③时，为常函数.④时，为线性函数，单调递增.⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为（D）.（4）设有两个数列，若，则（A）当收敛时，收敛.（B）当发散时，发散.(C)当收敛时，收敛.(D)当发散时，发散.【答案】C.【解析】方法一：举反例：（A）取（B）取（D）取故答案为（C）.方法二：因为则由定义可知使得时，有又因为收敛，可得则由定义可知使得时，有从而，当时，有，则由正项级数的比较判别法可知收敛.（5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为(A).(B).-19-(C).(D).【答案】A.【解析】

8、因为，则称为基到的过渡矩阵.则由基到的过渡矩阵满足所以此题选(A).（6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为....【答案】B.【解析】根据，若分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆-19-故答案为（B）.（7）设随机变量的分布