2009—数二真题、标准答案及解析

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1、2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为（）1.2.3.无穷多个.（2）当时，与是等价无穷小，则（）...（3）设函数的全微分为，则点（）不是的连续点.不是的极值点.是的极大值点.是的极小值点.（4）设函数连续，则（）....（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（）有极值点，无零点.无极值点，有零点.有极值点，有零点.无极值点，无零点.（6）设函数在区间上的图形为1-

2、2023-1O则函数的图形为（）梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第125页共125页.0231-2-11.0231-2-11.0231-11.0231-2-11（7）设，均为2阶矩阵，分别为，的伴随矩阵.若，则分块矩阵的伴随矩阵为（）....（8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为（）....梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第125页共125页二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线在处的切线方程为.（10）已知,则.（11）.（12）设是由方程确定的隐函数，则.（13）函数在区间上的

3、最小值为.(14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限.（16）（本题满分10分）计算不定积分.（17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与.（18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积.（19）（本题满分10分）计算二重积分，其中.（20）（本题满分12分）设是区间内过点的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点

4、，当时，函数满足.求的表达式.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第125页共125页（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得；（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.（22）（本题满分11分设，.（Ⅰ）求满足的所有向量；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第125页共125页2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～

5、8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为（）1.2.3.无穷多个.【答案】C【解析】则当取任何整数时，均无意义故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解故可去间断点为3个，即（2）当时，与是等价无穷小，则（）....【答案】A【解析】为等价无穷小，则故排除.另外存在，蕴含了故排除.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第125页共125页所以本题选A.（3）设函数的全微分为，则点（）不是的连续点.不是的极值点.是的极大值点

6、.是的极小值点.【答案】D【解析】因可得又在（0，0）处，故（0，0）为函数的一个极小值点.（4）设函数连续，则（）....【答案】C【解析】的积分区域为两部分：，将其写成一块故二重积分可以表示为，故答案为C.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第125页共125页（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（）有极值点，无零点.无极值点，有零点.有极值点，有零点.无极值点，无零点.【答案】B【解析】由题意可知，是一个凸函数，即，且在点处的曲率，而，由此可得，在上，，即单调减少，没有极值点.对于，（拉格朗日中值定理）而由零点定理知，在上，有零点.

7、故应选（B）.（6）设函数在区间上的图形为1-2023-1O则函数的图形为（）梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第125页共125页.0231-2-11.0231-2-11.0231-11.0231-2-11【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：①时，，且单调递减.②时，单调递增.③时，为常函数.④时，为线性函数，单调递增.⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为.（7）设，均为2阶矩阵，分别为，的伴随矩阵.若，则分块矩阵的伴随矩阵为（）..梅

8、花香自苦寒来，岁月共理想，人生气高飞！第125页共125页..【答