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1、2004年考硕数学（二）真题一.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）（1）设,则的间断点为.（2）设函数由参数方程确定,则曲线向上凸的取值范围为____..（3）_____..（4）设函数由方程确定,则______.（5）微分方程满足的特解为_______.（6）设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则______-.二.选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把时的无穷小量,,排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正
2、确的排列次序是（A）（B）（C）（D）（8）设,则（A）是的极值点,但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点,但是曲线的拐点.（C）是的极值点,且是曲线的拐点.（D）不是的极值点,也不是曲线的拐点.-25-（9）等于（A）.（B）.（C）.（D）（10）设函数连续,且,则存在,使得（A）在内单调增加.（B）在内单调减小.（C）对任意的有.（D）对任意的有.（11）微分方程的特解形式可设为（A）.（B）.（C）.（D）（12）设函数连续,区域,则等于（A）.（B）.（C）.（D）（13）设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵
3、为-25-（A）.（B）.（C）.（D）.（14）设,为满足的任意两个非零矩阵,则必有（A）的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.（B）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.（C）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.（D）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关.三.解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）求极限.（16）（本题满分10分）设函数在（）上有定义,在区间上,,若对任意的都满足,其中为常数.(Ⅰ)写出在上的表达式;(Ⅱ)问为何值时,在处可导.（17）（本题满分11分）设,(Ⅰ)证明是
4、以为周期的周期函数;(Ⅱ)求的值域.（18）（本题满分12分）曲线与直线及围成一曲边梯形.该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体,其体积为,侧面积为,在处的底面积为.-25-(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)计算极限.（19）（本题满分12分）设,证明.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注表示千克,表示千米/小时.（21）（本题满
5、分10分）设,其中具有连续二阶偏导数,求.（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.-25-2004年考硕数学（二）真题评注一.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）（1）设,则的间断点为0.【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限的方法得出的表达式,再讨论的间断点.【详解】显然当时,;当时,,所以,因为故为的间断点.（2）设函数由参数方程确定,则曲线向上凸的取值范围
6、为.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由定义的求出二阶导数,再由确定的取值范围.【详解】,,令.-25-又单调增,在时,.(时，时，曲线凸.)【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数,如1989、1991、1994、2003数二考题，也考过函数的凹凸性.（3）.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解1】.【详解2】.【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法.（4）设函数由方程确定,则.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【
7、详解1】在的两边分别对,求偏导,为的函数.,,从而,所以【详解2】令则,,-25-,,从而【详解3】利用全微分公式,得即,从而【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.（5）微分方程满足的特解为.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为,先求齐次方程的通解:积分得-25-设为非齐次方程的通解,代入方程得从而,积分得,于是非齐次方程的通解为,故所求通解为.【详解2】原方程变形为,由一阶线性方程通解公式得,从而所求的解为.【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题.（6）
8、设矩阵,矩阵满足,其中为
