2008—数二真题、标准答案及解析

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1、2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设，则的零点个数为（）01.23（2）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（）曲边梯形面积.梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积.（3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（）（5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（）若收敛，则收敛.若单调，则收敛.若收敛，则收敛.若单调，则收敛.（6）设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则（7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵.若，则（

2、）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆.（8）设，则在实数域上与合同的矩阵为（）梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-13-页共13页....二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）已知函数连续，且，则.（10）微分方程的通解是.（11）曲线在点处的切线方程为.（12）曲线的拐点坐标为______.（13）设，则.（14）设3阶矩阵的特征值为.若行列式，则.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限.(16)（本

3、题满分10分）设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.求.(17)（本题满分9分）求积分.(18)（本题满分11分）求二重积分其中(19)（本题满分11分）梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-13-页共13页设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.(20)（本题满分11分）(1)证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得(2)若函数具有二阶导数，且满足，证明至少存在一点（21）（本题满分11分）求函数在约束条件和下的最大

4、值与最小值.（22）（本题满分12分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，（1）求证；（2）为何值，方程组有唯一解，并求；（3）为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，（1）证明线性无关；（2）令，求.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-13-页共13页2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题(1)【答案】【详解】因为，由罗尔定理知至少有，使，所以至少有两个零点.又中含有因子，故也是的零点，D正确.本题的难度值为0.719.(2)【答案】【详解】其中是矩形ABOC面积，为曲边梯形

5、ABOD的面积，所以为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】【详解】由微分方程的通解中含有、、知齐次线性方程所对应的特征方程有根，所以特征方程为，即.故以已知函数为通解的微分方程是本题的难度值为0.832.(4)【答案】【详解】时无定义，故是函数的间断点因为同理又所以是可去间断点，是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】【详解】因为在内单调有界，且单调.所以单调且有界.故梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-13-页共13页一定存在极限.本题的难度值为0.537.(6)【答案】【详解】用极坐标得所以本题的难度值为0.638.(7)【答案

6、】【详解】，故均可逆．本题的难度值为0.663.(8)【答案】【详解】记，则，又所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值.又和为同阶实对称矩阵，所以和相似．由于实对称矩阵相似必合同，故正确.本题的难度值为0.759.二、填空题(9)【答案】2【详解】所以本题的难度值为0.828.(10)【答案】【详解】微分方程可变形为所以本题的难度值为0.617.(11)【答案】梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-13-页共13页【详解】设，则，将代入得，所以切线方程为，即本题的难度值为0.759.(12)【答案】【详解】时，；时，不存在在左右近旁异号，在左右近旁，且故曲线的拐

7、点为本题的难度值为0.501.(13)【答案】【详解】设，则所以所以本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】本题的难度值为0.839.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-13-页共13页三、解答题(15)【详解】方法一：方法二：本题的难度值为0.823.(16)【详解】方法一：由得，积分并由条件得，即所以方法二：由得，积分并由条件得，即所以所以本题的难度值为0.742.(17)【详解】方法一：由于，故是反常积分.令，有，梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-13-页共13页方