2007—数一真题标准答案及解析

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1、2007年考研数学一真题一、选择题(本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项屮，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当时，与等价的无穷小量是()A.1-B.InC.^1+yfx—1D.1—cosy[xi-yjx(2)曲线y=l+ln(l+eA)，渐近线的条数为()%A.OB.lC.2D.3⑶如图，连续函数y=f(x)在区间[-3,_2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=£/(f)汾.则下列结论正确的是()3535A.F(3)=-一F(

2、-2)B.F(3)=-F(2)C.F(3)=+-F(2)D.F(3)=—一F(-2)4444(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是()A.若limUQ存在，则f(0)=0B.若lim•’⑴+存在，则f(0)=0x->0x->0C.若存在，则/’(0)=0D.若lim’⑺-八―义)存在，则/(0)二0(5)设函数f(x)在(0,+OO)上具有二阶导数，且/”⑴〉6>，令w,,=f(n)=l，2,..…n，则下列结论正确的是()A.若《,〉w2,则｛«,,｝必收敛B.若％〉《2,则｛人｝必发散C.若贝iJ｛w,J必收敛D.若贝必发散(6)设曲线L:f(x，y)

3、=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是()A.JB.^f(x,y)dyC.£/(x,y)dsD.£f(%,y)dx+/1y(%,y)dy(7)设向g:组汉2,汉3线形无关，则下列向量组线形相关的是：()(A)6Z,-ava2-ava,-ax(B)a｛+a2,a2(C)a-2^2,ai-26^3,ay-2a(D)ai+2汉2,+26Z3,ay+2ar2-1-1、rl00、(8)设矩阵A=-12-1，B=010，则A于B()(-1-12,‘000)(A)合同，且相似(B)合同，但不

4、相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0

5、定位置上(12)设/(w，v)为二元可微函数，z=/(xv，yA),则7=•OX(13)二阶常系数非齐次线性方程>，"-4/+3)，=2^的通解为；/=(14)设曲而X:

6、x

7、+

8、)，

9、+

10、z

11、=l,则由*(x+1y)ds=z，00(15)设矩阵A=<0100、010，,则A3的秩为001000；(16)在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为.2三.解答题：17〜24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分11分)求函数少，)=x2+2/-X2)，2在区域D二{(X，力

12、x

13、2+/<4,y>0}上的最大值和最小值。(18)(本题满分10分)计算曲面积分=JJxzdydz+2xydzdx+3xydxdy,2其中Z为曲面2=卜％2-!(0。€1)的上侧.4(17)(本题是11分)设函数/⑷4(X)在［60］上连续，在(6/力)内二阶导数且存在相等的最大值，乂⑻=尺⑻，/(/?):抑)证明：存在卜⑽)，使得,"(《)=/(《).(18)(本题满分10分)设幕级数taZ在(-OO,+OO)内收敛，其和函数y(x)满足'1=0y-2xy—4y=0,y(0)=0,y(0)=12⑴证明人+2=——-an，/z=1，2,…；n+1(2)求;yO)的表达式.

14、(19)(本题满分11分)%,+%2+x3=0设线性方程组、+2^2+ox3=0(1)%,+4x2+a2x3=0与方程x,+2x2+%3=6/-1(2)有公共解，求《的值及所有公共解.(20)设3阶对称矩阵A的特征向麓值冬=1，^=2,4=-2,％=(1，-1,1/是A的属于;I,的一个特征向fi，记=A5—4A3+£其屮£为3阶单位矩阵(/)验证％是矩阵S的特征向量，并求B的全部特征伉的特征向量；(//)求矩阵fi.(23)没二维变量(x，y)的概率密度为/(^y)=0