《多元微分习题》word版

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1、课程教案高等数学多元函数微积分复习课　　在实际生活中，会遇到依赖于两个或两个以上自变量的多元函数．本章在一元函数微积分的基础上介绍多元函数微积分．多元函数微积分和一元函数微积分有很多相似的问题，也有很多不同的问题，需要大家在学习中注意．一、内容提要1.二元函数（1）二元函数：设是平面上的一个非空点集，如果有一个对应规律，使每一个点都对应于惟一确定的值，则称为上的二元函数.记做，其中称为自变量，函数也称为因变量，称为该函数的定义域.自变量多于一个的函数统称为多元函数.（2）二元函数的几何意义：函数的几何图形一般在空间直角坐标系中表示一张曲面，而其定义域就是此曲面在坐标面上的投影.2.二元函数的极

2、限与连续（1）二元函数的极限设函数在点的某个邻域内有定义（在点处可以无定义），如果当点以任意方式趋向于点时，相应的函数值无限接近于一个确定的常数，则称当时，函数以为极限，记作或.（2）二元函数的连续性①在一点连续的两个等价的定义定义1设有二元函数,如果=,则称二元函数在点处连续.定义2设(称为函数的全增量),若,则称二元函数在点处连续.②如果在区域内的每一点都连续，则称在区域上连续.第13页共13页课程教案高等数学③如果在点不连续，则称点是二元函数的不连续点或间断点.3.偏导数（1）二元函数的两个偏导数定义如下：（2）偏导数的计算从偏导数的定义可以看出，求的偏导数并不需要用新方法，因为这里只有

3、一个自变量在变动，另一个自变量被看作是固定的，所以仍旧可用一元函数的微分法.求时，只要把暂时看作常量而对求导数；求时，只要把暂时看作常量而对求导数.4.高阶偏导数（1）的四个二阶偏导数如下:,,,.二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.（2）混合偏导数与次序无关的定理如果函数的两个混合偏导数在点连续，则在点处，有.5.全微分（1）定义.（2）全微分在近似计算中的应用第13页共13页课程教案高等数学．．6.复合函数的偏导数设函数在点处有偏导数，函数在相应点处有连续偏导数，则复合函数在点处有偏导数，且,.7.隐函数的偏导数设方程确定了是的函数，且，连续及，则,,一般地,求由方程确定的隐函数的偏

4、导数,对方程两边同时求偏导更为方便.8.二元函数的极值与驻点（1）极值存在的必要条件设函数在点的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果是极值点，则必有.即可导函数的极值点必定为驻点，但是函数的驻点却不一定是极值点.（2）极值存在的充分条件设函数在点的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且是驻点.设，,，则第13页共13页课程教案高等数学①当时，点是极值点，且当时，点是极大值点；当时，点是极小值点；②当时，点不是极值点；③当时，点有可能是极值点也可能不是极值点.（3）条件极值与拉格朗日乘数法求函数在满足约束条件下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法，具体步骤如下：①构造拉格朗日函数,其中为待定常数

5、，称其为拉格朗日乘数.②求四元函数的驻点，即列方程组求出上述方程组的解，那么驻点有可能是极值点；③判别求出的点是否是极值点，通常由实际问题的实际意义来确定.对于多于三个自变量的函数或多于一个约束条件的情形也有类似的结果.9．二重积分（1）定义设二元函数是定义在有界闭区域上的连续有界函数，如果极限存在，且该极限的值与区域的分割方法和的选取无关，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记为，即.（2）几何意义第13页共13页课程教案高等数学表示曲面在区域上所对应的曲顶柱体各部分体积的代数和.（3）二重积分的性质线性：设为常数，则有.可加性：设积分区域可分割成为、两部分，则有.积分的比较性质：若，其中

6、，则.积分的估值性质：设，其中，而为常数，则（其中表示区域的面积）.积分中值定理：若在有界闭区域上连续，则在上至少存在一点，使得.10.二重积分的计算（1）二重积分在直角坐标系下的计算直角坐标系下的面积元素.①若为:,,则.②若:,,则.（2）二重积分在极坐标系下的计算极坐标系下的面积元素，极坐标与直角坐标的关系①设区域为：≤≤，≤≤，则第13页共13页课程教案高等数学.②设区域为：0≤≤≤≤，则.③设区域为：0≤≤0≤≤2所确定，从而得.11.二重积分的应用二重积分在几何学中可用于求空间中立体的体积，在物理学中可用于求平面薄片的质量、重心、转动惯量等．二、解题指导1．二元函数定义域例1求下列

7、函数的定义域并画出定义域的图形.（1）；（2）.解（1）要使函数有意义，需满足条件即.因此定义域为与围成的部分，包括曲线(图1).图1图2（2）要使函数有意义，需满足条件即定义域如图2所示.第13页共13页课程教案高等数学小结多元函数的定义域的求法与一元函数的定义域的求法完全相同．即先考虑三种情况：分母不为零；偶次根式的被开方式不小于零；要使对数函数，某些三角函数与反三角函数有意义.再建立不等式组