向量法解题(孙居国)—研

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1、向量法解立体几何题（南京师大附中）9-9-师：请每位同学先画一个正方体(教师在黑板上画)。都画好了吧。(1′30″)今天我们来看这样一个问题：(读题，板书方框中文字。)(2′47″)在棱长为1的正方体中，棱长为1，E、F分别是A1D、AC上的点，并且=，=λ。问题：①当λ为何值时，EF//D1B；②EF与AC有何关系；③证明EF//面D1DCC1_O_F_E_C_1_D_1_B_1_A_1_C_A_B_D(3′09″)第1题，大家看看，λ大概多少？多少？××(3′22″)生：我想λ为。师：你想λ为，你怎么想的呢？生：直

2、觉。师：直觉，感觉一下，λ为。λ为时，能不能证明这两条线平行呢？你们得出一个结论，λ为时，EF平行D1B。××生：连接D1E，并且延长交AD于P。师：连接什么，D1E，交于一点P。(画图)生：然后连接BP，就可以构成一个平面。_O_P_F_E_C_1_D_1_B_1_A_1_C_A_B_D师：你就是假如，F点就在这个位置的时候(即F在BP上)，那么AF比上AC是不是。生：是。师：是，根据比例的关系。那么等于的时候，D1B与EF是否平行呢？你来证明。生：因为PF:FB=AF:FC。师：这个比这个等于多少？PE:PD1？生

3、：1:3。师：那么PF:PB？生：也是1:3。师：根据比例关系得到EF和D1B这两条线平行，是不是啊。(5′40″)前面我们学习了用向量的办法来解决问题，刚才××同学用这种办法证明了，我们来看看怎么用向量的办法来证明：λ为时，这两条线平行。(擦去PD1和PB)想一下，我们怎么用向量办法解决问题。××，你想一下怎么用向量的办法来证明D1B与EF平行？生：先找一组基底。师：先找一组基底，是不是啊。你找哪一组基底？生：为。师：为。(标出)生：为。师：好,为。(标出)生：为。师：好，为。(标出)通常我们选择不共面的三个向量作为

4、空间向量的一组基底，然后其它所有的都可以通过这组基底来表示，是不是啊。建立好了，然后呢？问题含义的理解(问题是什么？)当λ为何值时，EF∥D1B？Û求使EF∥D1B的λ的值。Û如果EF∥D1B，λ的值是多少?Û已知EF∥D1B，求λ。假设λ=，是否EF∥D1B？Û已知λ=，求证EF∥D1B。Û当λ=时，EF和D1B是什么位置关系？这个问题肯定不是原问题，因为原题中没有λ=这个条件。原命题中求λ,显然λ是未知量,EF∥D1B是已知条件；而在假设命题中正好颠倒过来了,成了要求证的问题。可见其实是原命题的逆命题。①连PB交A

5、C于F，易证AF:AC=PF:PB=1:3,得EF∥D1B,所以AF:AC=1:3时，EF∥D1B。②因为EF∥D1B，所以EF和D1B共面与平面BD1P中，D1P、BP都在这个平面中，易证AF:AC=PF:PB=PE:PD1=ED:A1D=1:3。③假设AF:AC=1:3，连BP交AD与P’,可证P与P’重合，易证EF∥D1B。因为以上各步步步可逆。所以当AF:AC=1:3时，EF∥D1B。(这句话不可少)④因为EF∥D1B，所以=9-9--+λ-=μ(+-)，得μ=-，λ=μ；所以λ=-。⑤假设λ=，可得=-(+-

6、)，=-+-，可见=，即∥。_b_c_a_F_E_C_1_D_1_B_1_A_1_C_A_B_D生：然后把和分别用基底来表示。师：分别把要解决的问题中的和分别把它表示出来，(板书)是不是啊。是什么呢？生：=+。师：好，是什么？(描红)生：+。师：哪个向量？噢，=+，好。我们看看是什么呢？=+生：-+。师：看看，=(的什么？生：--。师：我们通常用什么方法表示向量比较好？我们前面讲过，头尾相连的？噢，从哪个箭头进去，到哪个箭头结束。是这条线路，还可以走哪条线路，从E点出发到A点？生：A到D到E。师：噢，这个到这个到这个(

7、在图中指E到A1到A）。你说的是不是这一个？生：我说的是A到D到E。师：A到D到E。观察一下，起点在这个地方(E)，终点在这个地方(A)，观察结果应该是E到D到A，是不是。注意，终点，起点，对不=++λ·(+)=++(+)=(-)-+(+)=+-对？那么就等于+。再加上什么，。是什么呢？生：λ·(+)。(板书)师：λ·(+)，是不是啊。λ等于多少？生：。师：好，。(改为)(+)再整理一下，？生：+。师：啊？生：-。师：噢，是(-)-+(+)。整理一下得等于什么？生：=+-。(12′04″)师：好，通过基底就表示出来了，

8、是不是啊。再看，它等于多少？看看哪位同学来表示一下？××生：…师：你准备走哪条线路？从D1到B，你走哪条线路？从这个点(D1)出发，你走哪个线路到B。生：D1A1师：D1A1等于什么？生：-。师：到这边了（指黑板上的图），再怎么样？生：A1到B1。师：A1到B，直接过来？生：A1到B1。师：到这里(B1)？向量是？生：。但是，这里