导数与定积分知识汇总

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1、高考数学----导数、定积分知识清单一、导数的概念●（一）导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量△x，那么函数y相应地有增量△y=f（x0+△x）－f（x0），比值叫做函数y=f（x）在x0到x0+△x之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x）或y’

2、x=x0即f‘（x）==。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（例如：函数y=

3、x

4、在x=0处得左极限与右极限不相等，所以函数y=

5、x

6、在x=0处不存在极限，所以在

7、x=0处不可导）（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：①求函数的增量=f（x+）－f（x）；②求平均变化率=；③取极限，得导数f’(x)=。●（二）导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f’（x0）（x－x0）。例题：1、已知曲线的一条切线方程是，则的值为（）或或2、若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A．B．C．D

8、．●（三）几种常见函数的导数:①②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.●（四）两个函数的和、差、积、商的求导法则1.函数和（或差）的求导法则设是可导的，则.即两个函数的和（或差）的导数等于这两个函数的导数的和（或差），该法则也可以推广到任意有限个函数，即：2.函数积的求导法则设是可导的，则，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数的导数.特例：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以这个函数的导数：3.函数商的求导法则设是可导的，且，则.（简记为（））即两个函数的商的导数等于等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方二、导数的应用●

9、（一）确定函数的单调性（求单调区间）1.在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。2.如果在某区间内恒有，则为常数；注：①f（x）＞0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有f（x）＞0，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f（x）＜0是f（x）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处导数为零，在其余各点导数值均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例题：求的单调区间●（二）极点与极值：1.曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，

10、右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；2.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）★求函数极值的步骤:①求导数②求方程的根③列表④下结论。3.当函数在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；②如果在x0附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧的导数异号，而不是=0---------（1）.亦即是极值点此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点----（2）当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注（1

11、）若点x0是可导函数f(x)的极值点，则，但反过来不一定成立。例如：函数y=x3在x=0处的导数为0，但是函数在R上单调递增，则x=0不是函数的极值点（2）例如：，在点x=0处不可导，但点x=0是函数的极小值点.例题：1、函数，若是的一个极值点，则值为A．2B.-2C.D.42、设函数f(x)=（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。解：由已知得，令，解得。（Ⅰ）当时，，在上单调递增；当时，，随的变化情况如下表：0+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，函数没有极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。●（三）最

12、值：最值定理：一般地，在区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值。求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值的步骤：①求函数f（x）在(a，b)内的极值；②求函数f（x）在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数f（x）的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。三、定积分的知识梳理●（一）定积分1.概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x