留数在计算积分中的应用-毕业论

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1、题目：留数在计算积分中的应用学院：数学院专业：信息与计算科学姓名：指导教师：完成日期：2013年5月15-18-摘要留数是复变函数论中一个重要的概念.留数的概念最早由柯西于年提出.由于对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项，因此称为留数.它在很多问题上都有重要应用，如定积分计算，函数零点与极点个数的计算，将亚纯函数展开为部分分式,将整函数展开为无穷乘积，稳定性理论,渐近估计等.本文将分别梳理留数定理的相关概念及其在计算积分上的应用.给出孤立奇点的定义和分类.接着给出函数零点与极点的关系，留数定理的相关定义与定理及其求法.本文的核心内容是留数定理在计算积分上的应用.关键词：孤立奇点；留数；

2、留数定理；积分；-18-AbstractResidueisanimportantconceptinthecomplexvariablefunctiontheory.TheconceptofresidueisputforwardfirstbyCauchyin1825.AsaresultofthefunctionoftheLaurentexpansionduringintegralleavingonlysocalledresidue.Ithasimportantapplicationinmanyissues,suchasdefiniteintegralcomputation,function

3、zerosandpolesnumbercalculation,willbelaunchedaspartofthemeromorphicfunctionfraction,theentirefunctionasaninfiniteproduct,stabilitytheory,theasymptoticestimate,etc.Thisarticlewillcombingtherelatedconceptsofresiduetheoremanditsapplication,thedefinitionandclassificationofisolatedsingularitywillbegiv

4、en.Thenextsectionwillbegivetherelationshipbetweenfunctionzerosandpoles,andrelevantdefinitionandtheoremofresidueanditscalculationmethods.Thecorecontentofthisarticleistheapplicationsoftheresiduetheoremintegralcalculation.Keywords:isolatedsingularities;residue;residuetheorem;integral;-18-目录序言1第1章基本定

5、理21.1孤立奇点21.2孤立奇点的分类21.3解析函数在无穷远点的性态51.4函数的零点与极点的关系61.5留数定理61.6留数的计算7第2章留数计算在积分中的应用102.1型如的积分102.2型如的积分112.3型如的积分132.4应用多值函数来计算实变函数的积分14第3章总结17参考文献18致谢19-18-序言留数又称残数，是复变函数论中一个重要的概念.留数的概念最早由柯西于年提出.如果是解析函数的孤立奇点，把在处的洛朗展式中一次幂项的系数称为在处的留数.记作，即.由于对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项，因此称为留数.它在很多问题上都有重要应用，如定积分计算，函数零点与极点个数

6、的计算，将亚纯函数展开为部分分式，将整函数展开为无穷乘积，稳定性理论,渐近估计等.本文将从两大部分分别梳理留数的相关概念及其应用.在第1章的基本概念部分中，将给出孤立奇点的定义和分类、函数零点与极点的关系.我们把不解析的点称做奇点，函数点不解析，但在的某个去心领域内处处解析，则称为的孤立奇点.根据洛朗展式的不同形式又将其分为可去奇点、极点和本性奇点.本文将讨论无穷远点的性态，函数零点与极点的关系，接着将介绍留数定义和留数定理及留数的4种计算规则.留数定理：是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭合曲线.设函数在内除去有孤立奇点，，，外，在每一点都解析，并且它在上每一点也解析

7、.那么我们有.第2章将重点介绍利用留数定理计算3种经典类型的积分，它们分别是形如，，.最后将通过对和的计算简单的了解应用多值函数来计算实变函数的积分.-18-第1章基本定理本章将首先讨论留数相关的基本定理.讨论孤立奇点,孤立奇点的分类，无穷远点，极点与零点的关系，这是对留数定理及留数的计算是必要的准备.接着开始对留数的讨论，给出留数定理，留数的计算.首先将从孤立奇点开始.1.1孤立奇点我们把不解析的点称做奇点.下面我们讨论孤立奇点的