平面向量数量积的坐标表示(1)

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1、高中数学教案第五章平面向量数量积的坐标表示（第11课时）课题：平面向量数量积的坐标表示教学目标：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。⑶能用所学知识解决有关综合问题。教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.C2．平面向

2、量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量

3、a

4、

5、b

6、cosq叫ａ与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b=

7、a

8、

9、b

10、cosq，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。3．向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影

11、b

12、cosq的乘积。4．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。1°e×a=a×e=

13、a

14、cosq；2°a^bÛa×b=03°当a与b同向时，a×b=

15、a

16、

17、b

18、；当a与b反向时，a×b=-

19、a

20、

21、

22、b

23、。特别的a×a=

24、a

25、2或4°cosq=；5°

26、a×b

27、≤

28、a

29、

30、b

31、5．平面向量数量积的运算律交换律：a×b=b×a数乘结合律：(a)×b=(a×b)=a×(b)分配律：(a+b)×c=a×c+b×c二、讲解新课：⒈平面两向量数量积的坐标表示第6页（共6页）高中数学教案第五章平面向量数量积的坐标表示（第11课时）已知两个非零向量，，试用和的坐标表示。设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以又，，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即2.平面内两点间的距离公式（

32、1）设，则或。（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定设，，则4.两向量夹角的余弦（）cosq=三、讲解范例：例1设a=(5,-7)，b=(-6,-4)，求a×b解：a×b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2例2已知A(1,2)，B(2,3)，C(-2,5)，求证：△ABC是直角三角形。证明：∵=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3)∴×=1×(-3)+1×3=0∴^第6页（共6页）高中

33、数学教案第五章平面向量数量积的坐标表示（第11课时）∴△ABC是直角三角形例3已知a=(3,-1)，b=(1,2)，求满足x×a=9与x×b=-4的向量x。解：设x=(t,s)，由∴x=(2,-3)例4已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝又∵０≤θ≤π，∴θ＝评述：已知三角

34、形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5如图，以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角△OAB，使ÐB=90°，求点B和向量的坐标。解：设B点坐标(x,y)，则=(x,y)，=(x-5,y-2)∵^∴x(x-5)+y(y-2)=0即：x2+y2-5x-2y=0又∵

35、

36、=

37、

38、∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2即：10x+4y=29由∴B点坐标或；=或例6在△ABC中，=(2,3)，=(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，第6页（共6页）高中数学教案第五章平面向量数量积的坐标表示（第11课时）求

39、k值。解：当A=90°时，×=0，∴2×1+3×k=0∴k=当B=90°时，×=0，=-=(1-2,k-3)=(-1,k-3)∴2×(-1)+3×(k-3)=0∴k=当C=90°时，×=0，∴-1+k(k-3)=0∴k=四、课堂练习：1.若a=(-4,3),b=(5,6),则3

40、a

41、２－４a·b＝（）A.23B.57C.63D.832.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，则△ABC为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知a=(4,3),向量b

42、是垂直a的单位向量，则b等于（）A.或B.或C.或D.或4.a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)·(a-b)=.5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x,-)在线段AB的中垂线上，则x=.6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=,b=,则a与b的夹角为.参考答案：1.D2.A3.D4.–75.6.45°五、小结两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示六、课后作业：1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投