高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式(第3课时)学案 新人教a版选修4-5

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1、一不等式3.三个正数的算术－几何平均不等式1．了解三个正数的算术－几何平均不等式．2．会应用三个正数的算术－几何平均不等式解决简单问题．1．三个正数的算术－几何平均不等式如果a，b，c∈R＋，那么≥________，当且仅当________时，等号成立．【做一做1－1】若x＞0，则4x＋的最小值是(　　)A．9B．3C．13D．不存在【做一做1－2】若logxy＝－2，则x＋y的最小值是(　　)A.B.C.D.2．n个正数a1，a2，…，an的算术－几何平均不等式对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均______它们的几何平均，即____________.当且

2、仅当____________时，等号成立．从不等式的式子结构入手，拼凑出所需形式是解决此类问题的突破点．【做一做2】已知a，b，c∈R＋，则(＋＋)(＋＋)≥______.答案：1.　a＝b＝c【做一做1－1】　B　∵x＞0，∴4x＋＝2x＋2x＋≥3，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立．【做一做1－2】　A　∵logxy＝－2，∴x＞0且x≠1，y＞0，且y＝x－2.∴x＋y＝x＋x－2＝＋＋≥3＝.当且仅当＝即x＝时等号成立．2．不小于　≥　a1＝a2＝…＝an【做一做2】　9　(＋＋)(＋＋)＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时取等号．1．三个正数或三

3、个以上正数的算术－几何平均不等式的应用条件剖析：“一正”：不论是三个数的或者n个数的算术－几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如a＋b＋c≥3，取a＝b＝－2，c＝2时，a＋b＋c＝－2，而3＝6，显然－2≥6不成立．“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值(即a1＋a2＋…＋an为定值)，求其积a1a2…an的最大值；二是已知乘积a1a2…an为定值，求其和a1＋a2＋…＋an的最小值．“三相等”：取“＝”号的条件是a1＝a2＝a3＝…＝an，不能只是其中一部分相等．不等式a2＋b2≥2ab与a3＋b3＋c3≥3abc的运用条件不一样，

4、前者要求a，b∈R，后面要求a，b，c∈R＋.要注意区别．2．灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法剖析：为了使用三个正数的算术－几何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y＝＋x2＝＋＋，其中把x2拆成和两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：y＝＋x2＝＋＋x2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因为：取“＝”号的条件是＝＝x2，显然x无解．题型一应用三个正数的算术－几何平均不等式求函数的最值【例1】已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2

5、)的最大值．分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×.求出最值后再开方．反思：拼凑数学结构，以便能利用算术－几何平均不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝·x(2－2x)·(1＋x)≤()3＝.虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x＝2－2x＝1＋x无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．这就要求平时多积累一些拼凑方法

6、的题型及数学结构，同时注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．题型二应用三个正数的算术－几何平均不等式证明不等式【例2】设a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)(＋＋)≥9.分析：先观察求证式子的结构，通过变形转化为用算术－几何平均不等式证明．反思：三个正数的算术－几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立的条

7、件是否保持一致．题型三应用三个正数的算术－几何平均不等式解决实际问题【例3】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k，这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？分析：―→―→―→―→反思：处理此类求最值的实际问题，应正确找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，