《初等积分法》word版

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1、§4初等积分法在前几节中，已介绍了对恰当方程、变量分离方程和一阶线性方程的求解方法，它们都是可以用初等积分法求解的标准方程.在微分方程的应用中，出现的方程是多种多样的.如果能够找到一种初等变换，把有关微分方程化为上述标准方程之一，那么原来的微分方程也就能求解了.例如，对于微分方程，如果引进变换，则方程变为，这是一个对的一阶线性方程.下面介绍几个标准类型的微分方程，可以通过适当的初等变换化为变量分离方程或一阶线性方程.一．齐次方程如果微分方程   （2.4.1）中的函数都是为和的同次（例如次）齐次函数，即，（2.4.2）则称

2、方程（2.4.1）为齐次方程.例如：（1）是齐次方程；（2）不是齐次方程；（3）是齐次方程；（4）不是齐次方程。注意：这里说的齐次方程与上节定义的齐次线性方程不是一回事.例如是齐次线性方程，而不是本节所说的齐次方程.又如，是齐次方程，而不是齐次线性方程.齐次方程可以通过变量变换化为变量分离方程.事实上，作变换，即（2.4.3）引进新的未知函数代替，从而（2.4.4）于是方程（2.4.1）变为，即（2.4.5）这是一个变量分离方程，于是可按分离变量的方法求解，然后再以代回原变量和即可.附注1：方程（2.4.1）为齐次方程的一个

3、等价定义式，它可以化为形如的方程.附注2：显然是方程（2.4.5）的解，但未必是原方程（2.4.1）的解，出现这种情况的原因在于，变换（2.4.3）当时不是可逆的.例1求解微分方程解这是一个齐次方程.因此，令，则原方程变为，即，分离变量，得，积分，得，变形得，。所以，原方程的通解为。例2求解微分方程.解这是一个齐次方程.因此，令，则原方程变为，即，两边积分，得到，即.以代回上式，就得通积分.如果用极坐标，则得到较简单的形式.所以它表示平面上一族以原点为心的对数螺线.例3求解微分方程.解这是一个齐次方程.因此，令，则原方程变为

4、，即，两边积分，得到，即.以代回上式，就得通积分.有些方程，虽然不是齐次方程，但是可以通过适当的变量变换化为齐次方程或变量分离方程.对于形如（2.4.6）的方程，如果引进变换，其中为新的未知函数，则方程立即化为（2.4.7）这已经是一个变量分离的方程，求解后代回原变量即得原方程的通解。.例4解微分方程：。解作变换，则，原方程变为，分离变量得，积分得，即。所以，原方程的通解为。例5解微分方程：。解作变换，则，原方程变为，分离变量得，积分得，即。所以，原方程的隐式通解为。习题1．求解下列微分方程：（1）；解这是齐次方程，令，则，

5、代入原方程，得，当时，分离变量，再积分，得，即，变形得。所以，原方程的通解为。（2）；解这是齐次方程，令，则，代入原方程，得，当时，分离变量，再积分，得，即，变形得。此外方程还有解即，若要允许则包含在其中.故原方程的通解是，C为任意常数.（3）解原方程变形得它是齐次方程，作变换，则原方程变为分离变量得两边积分得即所以，原方程的通解为（4）。解作变换，则，原方程变为，分离变量得，积分得。所以，原方程的隐式通解为。（其中）2．探照灯的反光镜（旋转面）应具有何种形状，才能使点光源发射的光束反射成平行线束？解设所求曲面是由曲线旋转而

6、成.取旋转轴为轴，轴的方向平行于光的反射方向，使点光源位于坐标原点（如图）.过曲线上任一点，作切线，它与轴的交角记为，由光的性质：入射角等于反射角，即，记与轴的交角为，则.由于，，又，从而可得方程，解出，有.作变换，方程化为.变量分离后积分，有.令，有，积分，得，代回原变量得，其中为任意常数，它是一族抛物线.因此，探照灯的反光镜面应是旋转抛物面的形状，它的曲面方程在空间中应表示为.