2、,得变量x,y已分离在方程两端，然后两端积分，得则(隐式解)(显式解)通解.程的一个解,此解可能不包含在通解中,此时称之为奇解显然y(x)=也是方7/20/20214例1求解微分方程解然后两端积分得当时分离变量，得为任意常数,即当时，.故若令则（9.7）式可写成又显然也是方程的一个解，这个解也可表成7/20/20215其中C是任意常数.因而将此解与（9.8）式表示的解合并，得所求方程的通解为例1求的全部解，并作积分曲线的图形.解当时，分离变量得两端积分得7/20/20216故通解为C为任意常数.又y=0时，故也是其一个解.这个解不包含在通
3、解中.7/20/202172.可化为变量分离方程的几类方程(1)形如该方程是关于新未知函数z的变量分离方程.例4求的全部解.解令z=x+y+1,则当即7/20/20218分离变量并积分锝即其中C是任意常数.又可看出也是方程的解.故方程还有特解7/20/20219(2)形如其中右端的函数f(x,y)是齐次函数.的方程,齐次方程f(x,y)是齐次函数是指对于任意的若f(x,y)可以写成的函数则它一定是齐次函数.例如是齐次方程.因为7/20/202110齐次方程的解法：令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.分离变量:7/
4、20/202111例5求解方程解首先将方程写作令代入原方程得分离变量:7/20/202112两端积分得即原方程通解为(C为任意常数)例5求解方程解将方程写作令方程可化为7/20/202113即积分得即又也是方程(9.14)的解.原方程的解为及7/20/202114(3)形如的方程.当时，方程(9.15)的右端为x,y的齐次函数.当中至少有一个不等于零时，分下面两种两种情况讨论.有唯一解.记此解为.即满足于是7/20/202115则方程(9.5)化为这是关于u,v的齐次方程.变量分离的方程7/20/202116变量分离的方程形如例5求解方程
5、解这里分子分母中的x,y项的系数成比例.令则分离变量并积分得7/20/202117由此可求出通积分再用x,y表示z，得原方程的通积分其中C为任意常数.3.一阶线性微分方程如方程等都是线性方程.而等都是非线性方程.7/20/2021181.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为一阶线性微分方程的上述通解包含了它的一切解．若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.称为齐次方程;7/20/202119对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动目录上页下页返回结束7/20/
6、202120例8解方程解先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为7/20/202121例9求解伯努利方程令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解(线性方程)7/20/202122补例3求方程的通解.即通解为解以除方程的两端，得7/20/202123补例解方程解把所给方程变形为7/20/2021244.全微分方程与积分因子则称为全微分方程(又叫做恰当方程).①判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.
7、求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为u(x,y)=C.7/20/202125例10求解微分方程解因为因而故其通积分为C为任意常数.例11求解微分方程解因为7/20/202126且它们在全平面上连续，所以方程为全微分方程.求原函数u(x,y).由.对x积分得其中为待定的可微函数.上式对y求偏导数得另一方面，代入（9.28）式得7/20/202127故原方程通解为C为任意常数.7/20/202128补例求解解因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为机动目录上页下页返回结束（3）7/20/202129(2)积分因子：命题满足或则定义若方
8、程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0不是全微分方程,但存在一个函数使方程m(x,y)M(x,y)dx+m(x,y)N(x,y)dy=0是全微分方程，则函数m(x,y)叫做此方程的积分因子．
