高中数学 16《函数的奇偶性》学案 苏教版必修1

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1、第16课时函数的奇偶性【学习目标】1．从形和数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概念,体会利用定义判断简单函数的奇偶性；2．在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察、归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.【课前导学】1.回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤．2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合）；中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转，能够与另一图形重合）．这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性

2、（导入课题，板书课题）．【课堂活动】一．建构数学：1.偶函数（1）观察函数y=x2的图象（如右图）①图象有怎样的对称性？关于y轴对称．②从函数y=f(x)=x2本身来说，其特点是什么？当自变量取一对相反数时，函数y取同一值．例如：f(-2)=4,f(2)=4,即f(-2)=f(-2)；f(-1)=1，f(1)=1，即f(-1)=f(1)；……由于（-x）2=x2∴f(-x)=f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=x2的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x2的图象上，这时，我们说函

3、数y=x2是偶函数．（2）定义：（板书）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（evenfunction）．例如：函数,,等都是偶函数．2.奇函数（1）观察函数y=x3的图象（如图）①当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？也是一对相反数．②这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称．即如果点（x,y）是函数y=x3的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=x3的图象上，这时，我们说函数y=x3是奇函

4、数．（2）定义：（板书）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction)．例如：函数都是奇函数．3.奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性．注意：（１）“任意”、“都有”等关键词；（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立，即等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是定义域上的恒等式．提问：1．你是否发现具有奇偶性的函数的定义域有什么特点？若定义域不符合此特点呢？答案：关于原点对称；否则函数就

5、不具奇偶性．2．具有奇偶性的函数其图像有何特点？答案：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于轴对称．据此也可用来判断函数的奇偶性．二．应用数学：例1判断下列函数的奇偶性．（1）f(x)=x3+2x;(2)f(x)=2x4+3x2;(3)f(x)=x2+2x+5;(4)f(x)=x2,x;(5)f(x)=;(6)f(x)=;【思路分析】①这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断；②从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；其次看f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否必有一成立．解：（1）奇函

6、数；（2）偶函数；（3）既不是奇函数也不是偶函数；（4）既不是奇函数也不是偶函数；（5）奇函数；（6）既是奇函数也是偶函数．【解后反思】1．判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性．（步骤：简记为一看二算三论）．2．函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0（其定义域关于原点对称，如x∈R或x∈(-a,a).a>0）既是奇函数又是偶函数，可见，函数按奇偶性可分四类．

7、3．本题也可用图像法．例2已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在是增函数．求证：y=f(x)在上也是增函数．证明：任取x1-x2>0.∵f(x)在（0，+∞）上是增函数．∴f(-x1)>f(-x2),又f(x)在R上是奇函数．∴-f(x1)>-f(x2),即f(x1)

8、是相反的．三．理解数学：1．已知函数f(x)对定义域内任意x．y,有f(x+y)=f(x)+f(y)⑴求f(0);⑵判断f(x)的奇偶性．解：⑴f(x+0)=f(x)+f(0)所以f(0)=0．⑵f[x+(-x)]=f(