高三数学第一轮复习 7.7数列的综合应用学案（老师版）

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1、7.7数列的综合应用一、学习目标：1．理解“复利”的概念，能解决分期付款的有关计算方法；2．能够把实际问题转化成数列问题．二、自主学习：【课前检测】1．猜想1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,……的第n个式子为。2．用数学归纳法证明,在验证成立时,左边所得的项为(C)A.1B.1+C.D.【考点梳理】1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数

2、列，公比为.其中第年产量为，且过年后总产量为：⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元.因此，第二年年初可存款：=.注意：“分期付款”、“森林木材”型应用问题⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为：(等差数列

3、问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：(等比数列问题).⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.2.将实际问题转化为数列问题时应注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.3.数列与其他知识的综合也是常考的题型，如：数列与函数、不等式、解析几何知识相

4、互联系和渗透，都是常见的题型。4.强化转化思想、方程思想的应用.三、合作探究：题型1以等差数列为模型的问题例1由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000t，第二天运送1100t，以后每天都比前一天多运送100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100t，连续运送15天，总共运送21300t，求在第几天达到运送食品的最大量.剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.解：设在第n天达到运送食品的最大量.则前n天每天运送的

5、食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.an=1000+（n－1）·100=100n+900.其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列.依题意，得1000n+×100+（100n+800）（15－n）+×（－100）=21300（1≤n≤15）.整理化简得n2－31n+198=0.解得n=9或22（不合题意，舍去）.答：在第9天达到运送食品的最大量.变式训练1数列{an}中，a1＝6，且an－an－1＝＋n＋1(n∈N*，n≥2)，则这个数列的通项an＝________.答案：

6、(n＋1)(n＋2)解：由已知等式得nan＝(n＋1)an－1＋n(n＋1)(n∈N*，n≥2)，则－＝1，所以数列{}是以＝3为首项，1为公差的等差数列，即＝n＋2，则an＝(n＋1)(n＋2)．n＝1时，此式也成立．小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。题型2以等比数列为模型的实际问题例2（2005年春季上海，20）某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2005年底和2006年

7、底的住房面积；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题.解:（1）2005年底的住房面积为1200（1+5%）－20=1240（万平方米），2006年底的住房面积为1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（万平方米），∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米.（2）2024年底的住房面积为1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－…－20（1+5%）－2

8、0=1200（1+5%）20－20×≈2522.64（万平方米），∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案.变式训练2从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月1日将