首师大附属丽泽中学考前数学专题辅导--导数及其应用

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1、考前专题辅导----导数及其应用一、知识点总结：1．函数在处的导数：。2、★★导数的几何意义：k=(x0)；导数的物理意义：瞬时速度=位移函数的导数。3★★★．【必背】八大常用函数的导数：（1）=0（c为常数）；（2）（a为任意常数）；（3）(4);(5);(6)；（7）；（8）4★★．导数的运算法则：；；；的导数=（其中）.5.★★★导数符号与函数的单调性：（1）若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递增；（2）若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递减。反之未必.6.极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则反之未

2、必.7．定积分求曲边梯形面积：求积分区间（a,b）；找被积函数；求原函数F（x）；求差;8．定积分的性质：（k为常数）；③（其中a＜c＜b。①②；9．微积分基本定理：若是区间上的连续函数，并且，则10．（1）定积分在几何中的应用：上图中的曲边梯的面积：当f(x)>0时，；当f(x)<0)时，。下图中图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。（2）匀变速运动的路程等于速度函数在时间区间上的定积分。二、试题集锦：1、（2011西城一模理18）.已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）若直线是曲线的切线，求实数的值；（3）设，求在区间上的最大2、（2011

3、东城一模理）已知函数．（1）求函数在区间上的最小值；（2）证明：对任意，都有成立3、（2011石景山一模理18）．已知函数，.（Ⅰ）当时，求在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．4、(2011海淀一模文18).已知函数（Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间；(II)若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.5、(石景山一模文18)．已知函数.（1）若，求函数的解析式；（2）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围.6、(2011朝阳二模理18)设函数，.（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试

4、求实数的取值范围；（Ⅲ）求函数的极值点.7、（2011昌平二模理19）已知函数（）.（Ⅰ）求函数的单调区间;(Ⅱ）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求的取值范围。8、（2011丰台二模理18）知函数．（1）若在处取得极值，求a的值；（2）求函数在上的最大值．9、（2011海淀二模文18）已知函数（I）若，求函数的解析式；（II）若，且在区间上单调递增，求实数的取值范围.例题集锦答案1、（2011西城一模理18）.已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）若直线是曲线的切线，求实数的值；（3）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的

5、底数）解：（Ⅰ），（），……………3分在区间和上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是.………4分（Ⅱ）设切点坐标为，则…7分（1个方程1分）解得，.不知道切点时通过设切点列方程求解……………8分（Ⅲ），则，…………………9分解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数.………10分★★依据根与区间大小关系分类当，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为.………………11分当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为.………………12分当，即时，的最大值为和中较大者；，解得，所以，时，最大值为，…………………13分时，最大值为.………………

6、…14分综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为.2、（2011东城一模理18）已知函数．（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意，都有成立．（Ⅰ）解：由，可得．当单调递减，当单调递增.所以函数在区间上单调递增，又，所以函数在区间上的最小值为．对任意，都有成立立问题转化为函数f(x)的最小值>g(x)最大值问题（注意：m，n不同的变量）★★★（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知在时取得最小值，又，可知．由，可得．所以当单调递增，当单调递减.所以函数在时取得最大值，又，可知，所以对任意，都有成立．3、（2011石景山一模理18）．已知函数，.（Ⅰ）当时，求在区间上的最大值和

7、最小值；（Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．解：（Ⅰ）当时，，∴．…2分对于，有，∴在区间上为增函数．∴，．………5分（Ⅱ）令，则的定义域为.…6分在区间上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立.即g(x)的最大值<0★★∵，……8分★★★依据开口方向及两根大小关系分类①若，令，解得：，．当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当，即，同理可知，在区间上，有，也不合题意；………10分②若时，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是.