八年级数学下册 18.1 勾股定理导学案 (新版)沪科版

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1、勾股定理1．勾股定理(1)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．(2)勾股定理的表达式：如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为：.(3)勾股定理的变形：(已知两边，求第三边的方法)已知条件未知条件求解方法a、bcc2＝a2＋b2⇒c＝a、cbb2＝c2－a2⇒b＝b、caa2＝c2－b2⇒a＝注意：勾股定理应用的前提条件必须是在直角三角形中，已知其中的任意两边的长，根据勾股定理可求出第三边的长．在求解时要先画图，标上已知量，如图，分清要求的边是直角边还是斜边，然后再运用勾股定

2、理或其变形进行解答．【例1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.(1)若a＝3，b＝4，则c＝__________；(2)若a＝6，c＝10，则b＝__________；(3)若c＝34，a∶b＝8∶15，则a＝__________，b＝__________；(4)若b＝5，∠B＝30°，则c＝__________.解析：(1)c2＝a2＋b2＝25，则c＝5.(2)b2＝c2－a2＝64，则b＝8.(3)∵a∶b＝8∶15，∴设a＝8x(x＞0)，b＝15x.又∵∠C＝90°，c＝34，∴c2

3、＝a2＋b2＝(8x)2＋(15x)2，∴c＝17x，∴17x＝34，x＝2，∴a＝16，b＝30.(4)∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴c＝2b＝10.答案：(1)5　(2)8　(3)16　30　(4)10点拨：在直角三角形中，运用勾股定理求某一边的长时，先分清直角边和斜边，然后再利用勾股定理，可设未知数，通过建立方程(组)来解决．2．勾股定理的证明(1)方法：勾股定理的证明方法较多，仅选取一种加以说明．如图所示网格图形中，每一个小方格的边长为1.根据图示填写表格，比较得出结论．A的面积B的面积C的面积图116925图249

4、13(2)结论：①两直角边上的正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积，即SA＋SB＝SC；②勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和．因为勾股定理既重要又简单，所以很容易吸引人，才使它成百次地被人反复论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法．实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种．【例2】如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，P是AC的中点，PD⊥BC，D为垂足，BC＝9，DC＝3，求AB的长．分析：由题可知∠BAC＝∠PDC

5、＝90°，因此可以利用勾股定理进行计算．解：连接PB.∵BC＝9，DC＝3，∴BD＝6.在Rt△BDP中，由勾股定理，得PB2＝PD2＋BD2，即PD2＝PB2－BD2.在Rt△PDC中，由勾股定理，得PC2－CD2＝PD2，∴PB2－BD2＝PC2－CD2.∴PB2－36＝PC2－9，∴PB2－PC2＝27.又∵P为AC的中点，∴PB2－PC2＝PB2－AP2＝AB2＝27，∴AB＝3.3．运用勾股定理求边长(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么a2＋b2＝c2.(2)意义：勾股定理是直角三

6、角形特有的定理，反映了直角三角形三边之间的数量关系．(3)延伸：在直角三角形中，若两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么①a＝；②b＝；③c＝.在直角三角形中，知道其中任意两边，根据勾股定理就能求出第三边.运用勾股定理求边长，一定要注意弄清是求直角边还是斜边，注意是加还是减．【例3】小林是开发区中学升旗队的一名旗手，在升旗时发现从旗杆AB的顶端A处垂下的绳子比旗杆AB长1米，他拿着绳子的下端拉开至C处，绳子恰好完全伸直，测得点C距旗杆底部B的距离是5米．请问：能根据这些条件求出旗杆的高度吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说

7、明理由．解：能求出旗杆的高度．如图所示，BC＝5米．设AB＝x米，则AC＝(x＋1)米．在Rt△ABC中，∠B＝90°，由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2，即：x2＋52＝(x＋1)2，解得：x＝12.即AB＝12米．答：旗杆AB的高度为12米．4．勾股定理在等腰三角形中的应用等腰三角形两腰相等；等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线相互重合，因此在等腰三角形中，通过作高可以将等腰三角形分成两个直角三角形，特别是底边上的高，将等腰三角形分解成两个全等的直角三角形．在等腰三角形中，底、腰、高三者之间知道任意两者都能求第三者．如

8、图(1)、图(2)分两种情况：情况一：图(1)中，在AB(或AC)，BC，AD三个量中，已知两个量，根据勾股定理，可以直接求第三个量；情况二：图(2)中，①已知AB，BD求BC，可以先求AD，再求DC，再求出BC；②已知AB，BC求BD，可借助于BD2相等，列方程求出AD或D