常微分方程》试题

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1、常微分方程试卷1一、填空题(每题3分,共15分)1.一阶微分方程的通解的图像是    维空间上的一族曲线.2.二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是.3.方程的基本解组是.4.一个不可延展解的存在在区间一定是区间.5.方程的常数解是.二、单项选择题(每题3分,共15分)6.方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是().(A)上半平面(B)xoy平面(C)下半平面(D)除y轴外的全平面7.方程()奇解.  (A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个8.连续可微是保证方程解存在且唯一的()条件.

2、(A)必要(B)充分(C)充分必要(D)必要非充分9.二阶线性非齐次微分方程的所有解().(A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间10.方程过点(0,0)有( ).  (A)无数个解 (B)只有一个解(C)只有两个解   (D)只有三个解三、计算题(每题6分,共30分)求下列方程的通解或通积分:11.12.13.14.15.四、计算题(每题10分,共20分)16.求方程的通解.517.求下列方程组的通解.五、证明题(每题10分,共20分)18.设在上连续

3、,且,求证:方程的一切解,均有.19.在方程中,在上连续,求证:若恒不为零,则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数.5常微分方程试卷1答案及评分标准一、填空题(每题3分,共15分)1.22.线性无关(或:它们的朗斯基行列式不等于零)3.4.开5.二、单项选择题(每题3分,共15分)6.D7.C8.B9.C10.A三、计算题(每题6分,共30分)11.解当,时,分离变量取不定积分,得(3分)通积分为(6分)12.解令,则,代入原方程,得(3分)分离变量,取不定积分,得()通积分为:(6分)13.解方程两端

4、同乘以,得令,则,代入上式,得(3分)通解为原方程通解为5(6分)14.解因为,所以原方程是全微分方程.(2分)取,原方程的通积分为(4分)即(6分)15.解原方程是克莱洛方程,通解为(6分)四、计算题(每题10分,共20分)16.解对应齐次方程的特征方程为,特征根为,,齐次方程的通解为(4分)因为是特征根。所以,设非齐次方程的特解为(6分)代入原方程,比较系数确定出,,原方程的通解为(10分)17.解先解出齐次方程的通解(4分)令非齐次方程特解为满足(6分)解得积分,得,通解为(10分)5五、证明题(每题10分,共2

5、0分)18.证明设是方程任一解,满足,该解的表达式为(4分)取极限=(10分)19.证明设,是方程的基本解组,则对任意,它们朗斯基行列式在上有定义,且.又由刘维尔公式,(5分)由于,,于是对一切,有或故是上的严格单调函数.(10分)5

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