高二函数的单调性与极值

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1、年级高二学科数学内容标题函数的单调性与极值编稿老师胡居化一、教学目标：1.理解利用导数判断函数在某一区间单调性及求函数的单调区间的方法.2.理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法.3.体会化归的数学思想、等价转化的数学思想、方程思想的应用.二、知识要点分析：1.利用导数判断函数的单调性（1）函数单调性与其导函数的正、负关系在区间（a，b）内，若，则函数y=f（x）在区间（a，b）内单调递增.若，则函数y=f（x）在区间（a，b）内单调递减，若，则函数y=f（x）是常函数，在区间（a，b）内不具有单调性.（2）导数与函数图像的关系若函数在某一区间（a，b）内的导数绝对值较大，则函数在这个范围

2、内变化得快，函数图像比较“陡峭”（向上或向下），反之，函数图像就“平缓”一些.2.求可导函数单调区间的一般步骤与方法（1）确定函数y=f（x）的定义域（2）求，解此方程，求其在定义域内的一切实根.（3）把函数y=f（x）的间断点的横坐标及上面求出的各实根按由小到大的顺序排列，然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间.（4）确定在各个小区间的符号，判定函数y=f（x）在每个相应小开区间的单调性.3.函数极值的概念已知函数y=f（x），设是定义域内任意一点，若对附近所有的点x，都有，则称函数y=f（x）在处取极大值，即，称为函数的一个极大值点.反之若，则函数在处取得极小值，即，称为函

3、数的一个极小值点.注意：（1）函数极值是局部性概念，极值点是定义域内的点，而定义域的端点绝不是极值点.（2）若函数y=f（x）在[a，b]内有极值，则函数在区间[a，b]内一定不是单调函数，即给定区间上的单调函数无极值.（3）当函数在区间[a，b]内连续且有有限个极值点时，函数在区间[a，b]内的极大值点与极小值点是交替出现的.第9页版权所有不得复制4.求函数y=f（x）极值的方法（1）求导数.（2）求方程=0的所有实数根.（3）考察附近的每一个根（从左到右），导函数的符号变化，若的符号由正变负，则是极大值，若的符号由负变正，则是极小值.注意：①可导点不一定是极值点，如，，则x=0不是极值点

4、.故导数为零的点是该点为极值点的必要条件.②不可导点可能是极值点，如，在x=0处不可导，但x=0是函数的极小值点.【典型例题】考点一：判断函数在给定区间上的单调性例1.已知函数，（1）当时，函数在区间（上的单调性如何？（2）当a>0时，判断函数在区间上的单调性.思路分析：（1）当时，根据函数性质可以判断函数在（内单调递增.（2）对函数求导，判断导函数在及上的符号.解：函数的定义域是：（1）当a=0时，函数f（x）=x在区间（内单调递增当a<0时，x及在区间内都是递增的故此时函数在区间内单调递增（2）求函数的导函数当或时有x2

5、函数的图像总在函数的图像的下方.思路分析：要证明函数的图像总在函数g（x）的图像的下方，只要证明恒成立即可.证明：构造函数，证当x>1时，F（x）<0即可.第9页版权所有不得复制故当x>1时，1－x<0，，即函数F（x）在区间（1，+内单调递减.故当x>1时，F（x）1时，函数f（x）的图像总在g（x）的图像的下方.考点二：求函数的单调区间例3.求函数的单调区间思路分析：函数定义域是（0，+，由求得x值，把定义区间分成若干个小区间，然后判断在各个小区间内的符号.或由求得.解：函数定义域是（0，+，，当，当时，故函数的增区间是（，减区间是例4.已

6、知函数（其中b<2），求导函数及函数f（x）的单调区间.思路分析：求导函数：一利用两个函数的商的导数的运算法则求.由=0求得x，结合函数不可导点横坐标x=1及x=b－1<1把定义区间分为（－，（b－1，1），（1，+，再判断导函数在这些区间内的符号.或利用求得结果是相同的.解：=函数定义域是，由=0，由b<2知：x=b－1<1故当：第9页版权所有不得复制故函数单调递增区间是（b－1，1），递减区间是（另解：函数定义域是由故函数单调递增区间是（b－1，1），递减区间是（考点三：求函数的极值及其综合应用.例5.求函数的极值思路分析：确定函数定义域，由求得的值，把函数定义域分成若干个小区间，判断导

7、函数在的左右侧的符号，从而判断函数在处的极值.解：函数定义域是当x变化时，的变化如下表：0（0，2）2（2，+－0+0－极小值0极大值由上表看出：当x=0时，函数有极小值，且.极大值例6.已知函数其中a为实数，（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值（2）已知不等式对任意的a都成立，求x的取值范围.思路分析：（1）由已知可求a的值（2），由得：对a>0恒成立.此时把不等式的右边看作是关于a的一次函数