（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理 文

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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.7正弦定理、余弦定理文1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(4)asinB＝bsinA，bsin

2、C＝csinB，asinC＝csinAcosA＝；cosB＝；cosC＝2.S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAb解的个数一解两解一解一解【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.(　√　)(3)在△AB

3、C的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　×　)(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形．(　×　)(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　√　)1．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝120°，a＝2，b＝，则B＝__________________________________________________.答案　解析　∵A＝120°，a＝2，b＝，∴由正弦定理＝可得，sinB

4、＝sinA＝×＝.∵A＝120°，∴B＝30°，即B＝.2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为________．答案　解析　因为S＝×AB×ACsinA＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.3．(2015·北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.答案　1解析　由余弦定理：cosA＝＝＝，∴sinA＝，cosC＝＝＝，∴sinC＝，∴＝＝1.4．(教材改编)在△ABC中，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC

5、的形状为________三角形．答案　直角解析　由已知得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，又sinA≠0，∴sinA＝1，A＝，∴△ABC为直角三角形．5．(2015·杭州二中高中第二次月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC＋bsinC－a－c＝0，则角B＝________.答案　解析　由正弦定理知，sinBcosC＋sinBsinC－sinA－sinC＝0.∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，代入上式得s

6、inBsinC－cosBsinC－sinC＝0.∵sinC＞0，∴sinB－cosB－1＝0，∴2sin＝1，即sin＝.∵B∈(0，π)，∴B＝.题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形例1　(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有________个．(2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角A，B，C的度数依次是________．(3)(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.答案　(1)2　(2

7、)45°，30°，105°　(3)1解析　(1)∵bsinA＝×＝，∴bsinAB，∴B＝30°，∴C＝105°.(3)因为sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，B＋C<π，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.思维升华　(1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公

8、式、正弦函数的值域等判断．②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时