2013高考数学 专题辅导专题二 第3讲 平面向量课时训练提能

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1、专题二第3讲　平面向量课时训练提能[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2012·黄冈模拟)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是A．(，－1)　　　　　　　B．(－1，－)C．(－，－1)D．(－1，)解析　a＋2b＝(，1)＋2(0，－2)＝(，－3)，∵a＋2b＝kc，∴k＝－时，c＝(－1，)．答案　D2．(2012·滁州模拟)已知平面上三点A、B、C满足

2、

3、＝3，

4、

5、＝4，

6、

7、＝5，则·＋·＋·的值等于A．25　　　B．24C．－25　　　D．－24解析　由勾股定理知△ABC是直

8、角三角形，cosA＝，cosC＝，则·＋·＋·＝0＋4×5×＋3×5×＝－25.答案　C3．(2012·南昌模拟)若△ABC的面积S△ABC∈，且·＝3，则与夹角的取值范围是A.B.C.D.解析　设与的夹角为θ，则·＝

9、

10、

11、

12、cosθ＝3，∴

13、AB

14、

15、

16、＝，∴S△ABC＝

17、

18、

19、

20、sin(π－θ)＝tanθ∈，∴tanθ∈.又θ∈[0，π]，∴θ∈.答案　D4．(2012·大连模拟)已知向量a＝(sinθ，cosθ)，b＝(3,4)，若a⊥b，则tan2θ等于A.B.C．－D．－解析　a·b＝3sinθ＋4cosθ＝0，∴tanθ＝－，∴tan2θ＝＝.答案　A5．(

21、2012·福州模拟)在△ABC所在平面内有一点O，满足2＋＋＝0，

22、

23、＝

24、

25、＝

26、

27、＝1，则·等于A.B.C．3D.解析　如图所示，∵2＋＋＝0，∴2＝－(＋)，∴O是BC的中点．又∵

28、

29、＝

30、

31、＝

32、

33、＝1，

34、

35、＝1，∴∠AOB＝60°，∠AOC＝120°，∠OCA＝30°，由余弦定理得AC＝，∴·＝

36、

37、·

38、

39、·cos∠OCA＝×2×＝3.答案　C6．(2012·房山一模)如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则·的最大值是A．2B．1＋C．πD．4解析　设∠BAx＝θ，则∠OAD＝∠CDy＝－θ，∠ADO＝θ，∴A点的坐标为(sinθ

40、，0)，D点的坐标为(0，cosθ)，由此可知B(sinθ＋cosθ，sinθ)，C(cosθ，cosθ＋sinθ)，∴·＝cosθ(sinθ＋cosθ)＋sinθ(cosθ＋sinθ)＝sin2θ＋1，∴当θ＝时，·的最大值为2.答案　A二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·台州模拟)设向量a＝(cosθ，1)，b＝(1，3cosθ)，且a∥b，则cos2θ＝________.解析　∵a∥b，∴cos2θ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－.答案　－8．(2012·南京师大附中模拟)在△ABC中，＝2，＝m＋n，则＝________.解析　＝＋＝＋＝

41、＋(－)＝＋，∴m＝，n＝，∴＝.答案　9．(2012·安徽六校联考)给出下列命题，其中正确的命题是________(写出所有正确命题的编号)．①非零向量a、b满足

42、a

43、＝

44、b

45、＝

46、a－b

47、，则a与a＋b的夹角为30°；②已知非零向量a、b，则“a·b＞0”是“a、b的夹角为锐角”的充要条件；③命题“在三棱锥O－ABC中，已知＝x＋y－2，若点P在△ABC所在的平面内，则x＋y＝3”的否命题为真命题；④若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形．解析　①如图所示，＝a，＝b，则＝b－a，∵

48、a

49、＝

50、b

51、＝

52、a－b

53、，∴平行四边形ABCD为菱形，且△ABD是等边三角

54、形，且∠BAC＝30°，∴＝a＋b，则a与a＋b的夹角为30°，故①正确；②当a、b的夹角为0°时，a·b＞0，故②错；③原命题的逆命题为“若x＋y＝3，则点P在△ABC所在的平面内”．∵x＋y＝3，∴y＝3－x，∴＝x＋(3－x)－2＝x＋3－x－2，即－＝x(－)＋2(－)，∴＝x－2，根据平面向量基本定理知P在△ABC所在的平面内，故③正确；④(＋)·(－)＝

55、

56、2－

57、

58、2＝0，∴

59、

60、＝

61、

62、，则△ABC为等腰三角形．答案　①③④三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2012·西城一模)在△ABC中，已知sin(A＋B)＝sinB＋sin(A－B)．(1)

63、求角A；(2)若

64、

65、＝7，·＝20，求

66、＋

67、.解析　(1)原式可化为sinB＝sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cosAsinB，因为B∈(0，π)，所以sinB＞0，所以cosA＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)由余弦定理，得

68、

69、2＝

70、

71、2＋

72、

73、2－2

74、

75、

76、

77、·cosA，因为

78、

79、＝7，·＝

80、

81、

82、

83、·cosA＝20，所以

84、

85、2＋

86、

87、2＝89，因为

88、＋

89、2＝

90、

91、2＋

92、

93、2＋2·＝129，所以

94、＋

95、＝.11．已知平面向量

96、a

97、＝2，

98、b

99、＝1，且(a＋b)⊥，求a与b的夹角．解析　因为(a＋b)⊥，所以a2－b2－a·b＝0.又因为

100、a

101、＝2，

102、b

103、＝1，