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《2013高考数学二轮专题辅导与训练 专题四第3讲空间向量与立体几何课时训练提能》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题四第3讲 空间向量与立体几何课时训练提能[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分)1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量是A．±(1,1,1) B．±C．±D．±解析 设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，故n·＝0，n·＝0，即－x＋y＝0，－x＋z＝0，取x＝1，得y＝z＝1，即平面ABC的一个法向量是(1,1,1)，单位化得±.故选C.答案 C2．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面π的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面π，则x的值为A．－2B．－C.D．±解析 线面
2、平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故x2－2＝0，解得x＝±，故选D.答案 D3．平面α，β的法向量分别是n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,0，－1)，则平面α，β所成锐角的余弦值是A.B．－C.D．－解析 cos〈n1，n2〉＝＝＝－，故平面α，β所成角的余弦值是.答案 C4．点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1,1)的直线l的距离为，则点M的坐标是A．(0,0，±2)B．(0,0，±3)C．(0,0，±)D．(0,0，±1)解析 设M为(0,0，z)，直线l的一个单位方向向量为s0＝，故点M到直线l的距离d＝＝＝，解得z＝±3.答案 B5．(2012·抚州一中
3、月考)已知直线l的方向向量为l，直线m的方向向量为m，若l＝αb＋βc(α，β∈R)，m∥a，a⊥b，a⊥c且a≠0，则直线m与直线lA．共线B．相交C．垂直D．不共面解析 由m∥a且a≠0，可得：m＝ta(t∈R)，所以m·l＝m·(αb＋βc)＝αm·b＋βm·c＝αta·b＋βta·c＝0，故m与l垂直，即直线m与直线l垂直．答案 C6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为A.B.C.D.解析 如图建立直角坐标系，设AB＝1，则＝(1,1,0)，＝(0,1,1)，设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，则y＝－1，x＝1，∴n＝(1，－
4、1,1)．又＝(0,0,1)，∴cos〈，n〉＝.所以BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.答案 D二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·长沙一中月考)已知a＝(2，－1,1)，b＝(－1，4，－2)，c＝(11,5，λ)，若向量a、b、c共面，则λ＝________.解析 由向量a、b、c共面可得：c＝xa＋yb(x，y∈R)，故有，解得.答案 18．已知2a＋b＝(0，－3，－10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，
5、b
6、＝12，则〈b，c〉＝________.解析 因为(2a＋b)·c＝0×1＋(－3)×(－2)＋(－10)×(－2)＝26，而(2a＋b)·c＝2a·c
7、＋b·c＝8＋b·c，故b·c＝18.又
8、c
9、＝＝3，故cos〈b，c〉＝＝＝，所以〈b，c〉＝.答案 9．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，则点A到平面MBC的距离等于________．解析 取CD的中点O，连接OB、OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，则OM⊥平面BCD，所以OM⊥OB.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得OB＝OM＝，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)．所以＝(1，，0)，＝(0，，)，＝(0,0,2)．设n＝(x，y，z
10、)是平面MBC的法向量，由n⊥，得x＋y＝0；由n⊥，得y＋z＝0.令x＝，则y＝－1，z＝1，所以n＝(，－1,1)是平面MBC的一个法向量．所以点A到平面MBC的距离为＝＝.答案 三、解答题(每小题12分，共36分)10．如图所示，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE.证明 ∵△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，∴AE⊥AB.又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，∴AE⊥平面
11、ABCD，∴AE⊥AD，即AD、AB、AE两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝1，则AE＝1，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)．(1)∵FA＝FE，∠AEF＝45°，∴∠AFE＝90°，从而F，＝，＝(0，－1,1)，＝(1,0,0)，于是·＝0，·＝0，∴EF⊥BE，EF⊥BC.∵BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE＝B，∴EF⊥平面
