量化资产配置专题报告：《加入协偏度和协峰度的高阶矩资产配置方法》

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1、目录1、简介42、理论背景42.1均值、方差、偏度和峰度42.2协偏度和协峰度62.3资产组合的阶矩92.4目标函数113、实践应用123.1资产选择123.2简单描述性统计153.3高阶矩资产配置184、总结20参考资料20重要免责声明21表格目录表格1虚拟案例-资产回报()7表格2虚拟案例-组合回报()7表格3资产选择14表格4规模前3资产14表格5简单描述性统计16表格6结果对比19图表目录图表1常见的回报概率分布形态5图表2虚拟案例-资产回报()8图表3克罗内克积10图表4局部最小、全局最小12图表5我国E

2、TF市场13图表6全球ETF概览13图表7随机成份股回报分布17图表8极值回报叠加情况17图表9净值图191、简介自现代资产组合理论(ModernPortfolioTheory-MPT)诞生以来，投资者们渐渐意识到资产配置的重要性。哈里马科维茨教授(HarryMarkowitz)做为现代资产组合理论的先驱者更是在1990年获得了诺贝尔经济学奖。加里布林森(GaryBrinson)等人从回报波动的角度上解释了资产配置的重要性，他们认为投资组合90以上的波动来自于资产配置，然而市场择时(MarketTiming)和证

3、券选择(SecuritySelection)对投资组合的贡献并没有那么显著。马科维茨教授的均值方差(Mean-Variance)模型自50年代发明以来，它的热度并没有随着时间的推移而削减，反而产业界的一些投资者还会基于均值方差模型的框架来构建资产组合，学术界的专家学者们更是尝试着从多个维度和角度去提高和改进均值方差模型。50年代之后，一系列卓越成熟的配置方法或者模型也渐渐出现在学术界和产业界，包括但不限于威廉夏普教授(WilliamSharpe)的资本资产定价模型(CapitalAssetPricingModel)

4、；费希尔布莱克教授(FischerBlack)和罗伯特利特曼(RobertLitterman)的Black-Litterman模型；桥水(Bridgewater)和钱恩平博士(EdwardQian)的风险平价资产配置方法(RiskParity)等等。2、理论背景2.1均值、方差、偏度和峰度回报的概率分布有四个重要的参数，它们分别是一阶矩-均值(FirstMoment-Mean)，二阶矩-方差(SecondMoment-Variance)，三阶矩-偏度(ThirdMoment-Skewness)和四阶矩-峰度(Fou

5、rthMoment-Kurtosis)，它们简单的数学表达式为：一阶矩：μ=E[X]二阶矩：?=E[(X−μ)2]三阶矩：S=E[(X−μ3σ)]四阶矩：K=E[(X−μ4σ)]X：随机变量；E：期望；?：随机变量的标准差以资产的回报作为例子，一阶矩衡量的是回报概率分布的中心位置即回报的均值，二阶矩衡量的是回报偏离均值的程度，三阶矩衡量的是回报偏离对称性的程度，四阶矩衡量的是回报在尾部分布的程度。回报概率分布形态千变万化，常见的形态包括但不限于正偏度(Positivelyskewed)，负偏度(Negatively

6、skewed)和肥尾(Fat-tailed)，如图表1所示（随机生成，不代表任何实际情况）：图表1常见的回报概率分布形态数据来源：爱建证券研究所除了均值和标准差之外，了解偏度和峰度也是很重要的，因为当回报概率分布是正偏度的时候，如果用标准差衡量资产风险，那么资产风险就会被高估，头部极值情况通常来说不是一件坏事，2013年诺贝尔经济学奖得主尤金法玛教授(EugeneFama)曾经说过风险并不一定都是消极的；当回报概率分布是负偏度的时候，标准差就会低估资产风险；最后当回报概率分布呈现出肥尾形态的时候，回报出现正值和负值

7、的概率相对来说会比较显著，资产的潜在风险也会变大。现代资产组合理论里的有效前沿(EfficientFrontier)强调在给定风险的情况下预期回报最大化，或者给定预期回报的情况下风险最小化。马科维茨教授的均值方差模型最重要的两个参数输入是资产的预期回报和资产间的协方差矩阵，然而协方差矩阵是由资产间的相关性系数和资产的标准差组成。这篇报告会把偏度和峰度加入均值方差模型中从而实现更加贴近实际情况的资产组合。2.1协偏度和协峰度上文中的均值、方差、偏度和峰度都是在阐述一个变量即单个资产的回报，但是资产配置至少会存在两个不

8、同类别的资产，协方差衡量的是整体上两个变量间的关系，然而协方差矩阵记录了多对资产间的关系，协方差矩阵的对角元素是描述变量自己和自己的关系即方差。除了资产的预期回报和资产间的协方差矩阵，协偏度(Coskewness)和协峰度(Cokurtosis)在资产配置中也扮演着比较重要的角色，以下会通过几组随机生成的数据来解释它们(举例子说明，不代表任何实际情况)：假设