高一数学《311 方程的根与函数的零点》导学案

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1、山东省招远市第二中学高一数学《311方程的根与函数的零点》导学案学习目标1．能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．理解函数的零点与方程根的关系．3．掌握函数零点的存在性的判定方法．自学导引1．对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．4．函数零点的存在性的判定方法：如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲

2、线，并且有f(a)·f(b)<0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.　　　　　　一、求函数的零点例1　求下列函数的零点：(1)f(x)＝－x2－2x＋3；(2)f(x)＝x4－1；(3)f(x)＝x3－4x.解　(1)由于f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)．所以方程－x2－2x＋3＝0的两根是－3,1.故函数的零点是－3,1.(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，所以方程x4－1＝0的实数根是－1,1，故函数的零点是－1,1.(3)令f(x)＝0，即x3

3、－4x＝0，∴x(x2－4)＝0，即x(x＋2)(x－2)＝0.解得：x1＝0，x2＝－2，x3＝2，所以函数f(x)＝x3－4x有3个零点，分别是：－2,0,2.点评　求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解．变式迁移1　若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解　∵2，－4是函数f(x)的零点．∴f(2)＝0，f(－4)＝0.即，解得.二、判断函数在某个区间内是否有零点例2　(1)函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(　　)A．(1,2

4、)　　　　　　　B．(2,3)C.和(3,4)D．(e，＋∞)(2)f(x)＝lnx－在x>0上共有________个零点．分析　由题目可获取以下主要信息：本例为判断函数零点所在区间问题，且在选项中给出了待确定的区间．解答本题可从已知区间求f(a)和f(b)，判断是否有f(a)·f(b)<0，且注意该函数在定义域上为增函数．答案　(1)B　(2)1解析　(1)∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，∴在(1,2)内f(x)无零点，A不对；又f(3)＝ln3－>0，∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2,3)内有一个零点．(2)∵f(x)＝lnx－在x>0上是增函数

5、，故f(x)有且只有一个零点．点评　这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．变式迁移2　方程x2－3x＋1＝0在区间(2,3)内根的个数为(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．不确定答案　B解析　令f(x)＝x2－3x＋1，则f(2)·f(3)<0，∴(2,3)内仅有一个根．三、已知函数零点的特征，求参数范围例3　若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围．分析　

6、由题目可获取以下主要信息：已知函数f(x)零点特征，讨论函数表达式中字母的特征，解答本题可根据该字母对函数零点的影响入手，进行求解．解　①若a＝0，则f(x)＝－x－1，为一次函数，易知函数仅有一个零点；②若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根，故判别式Δ＝1＋4a＝0，a＝－.综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．变式迁移3　已知在函数f(x)＝mx2－3x＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围．解　(1)当m＝0时，f(0)＝－3x＋1，直线与x轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意．图

7、(1)(2)当m≠0时，∵f(0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m<0，f(x)的开口向下，如图(1)所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．图(2)若m>0，f(x)的开口向上，如图(2)所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当9－4m≥0即可，解得0