高一数学《311 方程的根与函数的零点》导学案

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1、山东省招远市第二中学高一数学《311方程的根与函数的零点》导学案学习目标1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.理解函数的零点与方程根的关系.3.掌握函数零点的存在性的判定方法.自学导引1.对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.3.方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.4.函数零点的存在性的判定方法:如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的一条曲

2、线,并且有f(a)·f(b)<0,那么y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.      一、求函数的零点例1 求下列函数的零点:(1)f(x)=-x2-2x+3;(2)f(x)=x4-1;(3)f(x)=x3-4x.解 (1)由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1).所以方程-x2-2x+3=0的两根是-3,1.故函数的零点是-3,1.(2)由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),所以方程x4-1=0的实数根是-1,1,故函数的零点是-1,1.(3)令f(x)=0,即x3

3、-4x=0,∴x(x2-4)=0,即x(x+2)(x-2)=0.解得:x1=0,x2=-2,x3=2,所以函数f(x)=x3-4x有3个零点,分别是:-2,0,2.点评 求函数的零点,关键是准确求解方程的根,若是高次方程,要进行因式分解,分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零,若是二次方程常用因式分解或求根公式求解.变式迁移1 若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4,求a,b的值.解 ∵2,-4是函数f(x)的零点.∴f(2)=0,f(-4)=0.即,解得.二、判断函数在某个区间内是否有零点例2 (1)函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是(  )A.(1,2

4、)       B.(2,3)C.和(3,4)D.(e,+∞)(2)f(x)=lnx-在x>0上共有________个零点.分析 由题目可获取以下主要信息:本例为判断函数零点所在区间问题,且在选项中给出了待确定的区间.解答本题可从已知区间求f(a)和f(b),判断是否有f(a)·f(b)<0,且注意该函数在定义域上为增函数.答案 (1)B (2)1解析 (1)∵f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0,∴在(1,2)内f(x)无零点,A不对;又f(3)=ln3->0,∴f(2)·f(3)<0,∴f(x)在(2,3)内有一个零点.(2)∵f(x)=lnx-在x>0上是增函数

5、,故f(x)有且只有一个零点.点评 这是一类非常基础且常见的问题,考查的是函数零点的判定方法,一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值,进行符号判断即可得出结论,这类问题的难点往往是函数符号的判断,可运用函数的有关性质进行判断,同时也要注意该函数的单调性.变式迁移2 方程x2-3x+1=0在区间(2,3)内根的个数为(  )A.0    B.1    C.2    D.不确定答案 B解析 令f(x)=x2-3x+1,则f(2)·f(3)<0,∴(2,3)内仅有一个根.三、已知函数零点的特征,求参数范围例3 若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点,求实数a的取值范围.分析 

6、由题目可获取以下主要信息:已知函数f(x)零点特征,讨论函数表达式中字母的特征,解答本题可根据该字母对函数零点的影响入手,进行求解.解 ①若a=0,则f(x)=-x-1,为一次函数,易知函数仅有一个零点;②若a≠0,则函数f(x)为二次函数,若其只有一个零点,则方程ax2-x-1=0仅有一个实数根,故判别式Δ=1+4a=0,a=-.综上,当a=0或a=-时,函数仅有一个零点.变式迁移3 已知在函数f(x)=mx2-3x+1的图象上其零点至少有一个在原点右侧,求实数m的范围.解 (1)当m=0时,f(0)=-3x+1,直线与x轴的交点为,即函数的零点为,在原点右侧,符合题意.图

7、(1)(2)当m≠0时,∵f(0)=1,∴抛物线过点(0,1).若m<0,f(x)的开口向下,如图(1)所示.二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧,一个在原点左侧.图(2)若m>0,f(x)的开口向上,如图(2)所示,要使函数的零点在原点右侧,当且仅当9-4m≥0即可,解得0

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