高三数学大一轮复习讲义 5.4平面向量的应用 理 新人教a版

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1、§5.4　平面向量的应用2014高考会这样考　1.考查向量与平面几何知识、三角函数的综合应用；2.考查向量的物理应用，利用向量解决一些实际问题．复习备考要这样做　1.掌握向量平行、垂直的条件和数量积的意义，会求一些角、距离；2.体会数形结合思想，重视向量的工具性作用．1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直

2、问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝＝(θ为a与b的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝

3、F

4、

5、s

6、cosθ(θ为F与s的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂

7、直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．[难点正本　疑点清源]1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿

8、)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则F1与F3所成的角为________．答案　90°解析　如图，F3＝－(F1＋F2)．在▱OACB中，

9、OA

10、＝1，

11、AC

12、＝2，∠OAC＝60°，∴

13、OC

14、＝＝，∴∠AOC＝90°，即⊥，∴F1⊥F3.2．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为_____．答案　y2＝8x(x≠0)解析　由题意得＝，＝，又⊥，∴·＝0，即·＝0，化简得y2＝8x(x≠0)．3．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s

15、的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．答案　2m/s解析　如图所示小船在静水中的速度为＝2m/s.4．已知A、B是以C为圆心，半径为的圆上的两点，且

16、

17、＝，则·等于(　　)A．－B.C．0D.答案　A解析　∵

18、

19、＝＝r，∴∠ACB＝60°，·＝－·＝－

20、

21、·

22、

23、·cos∠ACB＝－·cos60°＝－.5．a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　因为f(x)＝(xa＋b)·(x

24、b－a)＝(a·b)x2＋(

25、b

26、2－

27、a

28、2)x－a·b.当f(x)为一次函数时，必须满足即故f(x)为一次函数时一定有a⊥b.当a⊥b且

29、a

30、＝

31、b

32、时，f(x)为常函数，所以“a⊥b”不是“f(x)为一次函数”的充分条件，故选B.题型一　应用平面向量的几何意义解题例1　平面上的两个向量，满足

33、

34、＝a，

35、

36、＝b，且⊥，a2＋b2＝4.向量＝x＋y(x，y∈R)，且a22＋b22＝1.(1)如果点M为线段AB的中点，求证：＝＋；(2)求

37、

38、的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值．思维启迪：对第(1)问，可先求，再由条件即可得到结论

39、；对第(2)问，先设点M为线段AB的中点，进而利用第(1)问的结论，并由条件确定P，O，A，B四点共圆，结论即可得到．(1)证明　因为点M为线段AB的中点，所以＝＋.所以＝－＝(x＋y)－＝＋.(2)解　设点M为线段AB的中点，则由⊥，知

40、

41、＝

42、

43、＝

44、

45、＝

46、

47、＝1.又由(1)及a22＋b22＝1，得

48、

49、2＝

50、－

51、2＝22＋22＝2a2＋2b2＝1.所以

52、

53、＝

54、

55、＝

56、

57、＝

58、

59、＝1.故P，O，A，B四点都在以M为圆心、1为半径的圆上，所以当且仅当OP为圆M的直径时，

60、

61、max＝2.这时四边形OAPB为矩形，则S四边形OAPB＝

62、

63、·

64、

65、＝ab

66、≤＝2，当且仅当a＝b＝时，四边形OAPB的面积最大，最大值为2.探究提高　本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题．求解第(2)问的难点就是如何利用第(1)问的结论来解决新的问题，突破这一