2014届高考数学大一轮复习 5.4 平面向量的应用试题（含解析）新人教a版

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1、5.4平面向量的应用一、选择题1.如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是(　　)．A.B.2C.D.3答案　A2．△ABC的三个内角成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC一定是(　　)．A．等腰直角三角形B．非等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析　△ABC中BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又A，B，C成等差数列，故B＝.答案　C3.半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则(＋)·的值是(　　)A．－2

2、B．－1C．2D．无法确定，与C点位置有关解析(＋)·＝2·＝－2.答案　A4．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析　＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，∴·＝(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2.即y2＝x＋6.答案　D5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)．A．3B.C．2D.解析　(特例法)利用

3、等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得＝.答案　B【点评】本题采用特殊点法，因为过点G的直线有无数条，其中包含平行于底边BC的直线，所以f(xy,x＋y)的值不随M、N的位置变化而变化.6．已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且

4、

5、＝

6、

7、＝

8、

9、，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)．A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心解析　因为

10、

11、＝

12、

13、＝

14、

15、，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为三角形ABC的外心；由＋＋＝0，得＋＝

16、－＝，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；由·＝·＝·得，·－·＝·＝0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心．答案　C7.已知平面上三点A、B、C满足

17、

18、＝6，

19、

20、＝8，

21、

22、＝10，则·＋·＋·的值等于(　　)A．100B．96C．－100D．－96解析：∵

23、

24、＝6，

25、

26、＝8，

27、

28、＝10，62＋82＝102.∴△ABC为Rt△.即·＝0.·＋·＋·＝(＋)＝·＝－

29、

30、2＝－100.答案：C二、填

31、空题8.如图,在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且=.答案189.△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．解析∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.答案310．已知平面向量a，b满足

32、a

33、＝1，

34、b

35、＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行

36、四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．解析　∵

37、a＋b

38、2－

39、a－b

40、2＝4a·b＝4

41、a

42、

43、b

44、cos＝4＞0，∴

45、a＋b

46、＞

47、a－b

48、，又

49、a－b

50、2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴

51、a－b

52、＝.答案　11．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(＋)·的值为________．解析：

53、

54、2＝

55、

56、2＋

57、

58、2＝8，

59、

60、＝

61、

62、，＋＝2，(＋)·＝2·＝

63、

64、2＝4.答案：412．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.解析　(构造法)∵等

65、边三角形的边长为2，∴如图建立直角坐标系，∴＝(，－3)，＝(－，－3)，∴＝＋＝.∴＝＋＝(0,3)＋＝.∴·＝·＝－2.答案　－2【点评】本题构造直角坐标系，通过坐标运算容易理解和运算．三、解答题13．已知A(2,0)，B(0,2)，C(cosθ，sinθ)，O为坐标原点(1)·＝－，求sin2θ的值．(2)若

66、＋

67、＝，且θ∈(－π，0)，求与的夹角．解析：(1)＝(cosθ，sinθ)－(2,0)＝(cosθ－2，sinθ)＝(cosθ，sinθ)－(0,2)＝(cosθ，sinθ－2)．·＝cosθ(

68、cosθ－2)＋sinθ(sinθ－2)＝cos2θ－2cosθ＋sin2θ－2sinθ＝1－2(sinθ＋cosθ)＝－.∴sinθ＋cosθ＝，∴1＋2sinθcosθ＝，∴sin2θ＝－1＝－.(2)∵＝(2,0)，＝(cosθ，sinθ)，∴＋＝(2＋cosθ，sinθ)，∴

69、＋

70、＝＝.即4＋4cosθ＋cos2θ＋sin2θ＝7.∴4cosθ＝2，即cosθ＝.∵－π<θ<0，∴θ＝－.又