2014届高考数学大一轮复习 5.1 平面向量的概念及线性运算试题(含解析)新人教a版

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1、5.1平面向量的概念及线性运算一、选择题1.已知两个非零向量a,b满足

2、a+b

3、=

4、ab

5、,则下面结论正确的是()A.a∥bB.a⊥bC.{0,1,3}D.a+b=ab答案B2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的(  ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若a+b=0,则a=-b.∴a∥b;若a∥b,则a=λb,a+b=0不一定成立.答案 A3.设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则(  ).A.+=0B.+=0C.+=0D.++=0解析 如图,根据向量加法的几何意义,

6、+=2⇔P是AC的中点,∴+=0.答案 B4.已知向量a=(x,2),b=(3,-1),若(a+b)∥(a-2b),则实数x的值为(  )A.-3B.2C.4D.-6解析因为(a+b)∥(a-2b),a+b=(x+3,1),a-2b=(x-6,4),∴4(x+3)-(x-6)=0,x=-6.答案D5.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(  ).A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对解析 由已知=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2.∴∥,又与不平行,∴四边形ABCD是梯

7、形.答案 C6.已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m,使得+=m成立,则m=(  ).A.2B.3C.4D.5解析 ∵++=0,∴点M是△ABC的重心,∴+=3,∴m=3.答案 B7.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于(  )A.30°B.60°C.90°D.120°解析:由++=0得+=,由O为△ABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°.答案:A二、填空题8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=________.解析:由-3

8、+2=0,得-=2(-),即=2,于是=2.答案:29.给出下列命题:①向量的长度与向量的长度相等;②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;④两个有公共终点的向量,一定是共线向量;⑤向量与向量是共线向量,则点A、B、C、D必在同一条直线上.其中不正确的个数为________.解析 ①中,∵向量与为相反向量,∴它们的长度相等,此命题正确.②中若a或b为零向量,则满足a与b平行,但a与b的方向不一定相同或相反,∴此命题错误.③由相等向量的定义知,若两向量为相等向量,且起点相同,则其终点

9、也必定相同,∴该命题正确.④由共线向量知,若两个向量仅有相同的终点,则不一定共线,∴该命题错误.⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量,∴若与是共线向量,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上,∴该命题错误.答案 310.已知向量夹角为,且;则.解析答案11.若M为△ABC内一点,且满足=+,则△ABM与△ABC的面积之比为________.解析由题知B、M、C三点共线,设=λ,则:-=λ(-),∴=(1-λ)+λ,∴λ=,∴=.答案12.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足

10、-

11、=

12、+-2

13、,则△ABC的形状为________.

14、解析 (等价转化法)+-2=-+-=+,-==-,∴

15、+

16、=

17、-

18、.故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形.答案 直角三角形【点评】本题采用的是等价转化法,将△ABC的三个顶点转化到相应矩形中,从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论.三、解答题13.如图所示,△ABC中,=,DE∥BC交AC于E,AM是BC边上的中线,交DE于N.设=a,=b,用a,b分别表示向量,,,,,.解析 =b,=b-a,=(b-a),=(b-a),=(a+b),=(a+b).14.设a,b是两个不共线的非零向量,若a与b起点相同,

19、t∈R,t为何值时,a,tb,(a+b)三向量的终点在一条直线上?解析 设a-tb=λ(λ∈R),化简整理得a+b=0,∵a与b不共线,∴由平面向量基本定理有∴故t=时,a,tb,(a+b)的终点在一条直线上.15.如图所示,在△ABC中,D、F分别是BC、AC的中点,=,=a,=b.(1)用a,b表示向量、、、、;(2)求证:B、E、F三点共线.解析:(1)延长AD到G,使=,连结BG、CG,得到▱ABGC,所以=a+b,==(a+b),==(a+b),==b,=-=(a+b)-a=(b-2a),=-=b-a=(b-2a).(2

20、)证明:由(1)可知=,所以B、E、F三点共线.16.已知O,A,B三点不共线,且=m+n,(m,n∈R).(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.证明 (1)m,n∈R,且m+n=1,∴=m+n

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