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时间:2018-12-24
《(全国通用)2018版高考数学总复习 考前三个月 压轴小题突破练 3 与立体几何有关的压轴小题 理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.与立体几何有关的压轴小题1.(2017届山西大学附属中学模块诊断)如图为某几何体的三视图,则其体积为( )A.+4B.C.+4D.π+答案 D解析 由三视图可知,该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱OO1)与四棱锥的组合体,其中四棱锥的底面ABCD为圆柱的轴截面,顶点P在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示),且P在AB上的射影为底面的圆心O.由三视图数据可得,半圆柱所在圆柱的底面半径r=1,高h=2,故其体积V1=πr2h=π×12×2=π;四棱锥的底面ABCD为边长为2的正方形,PO⊥底面ABCD,且PO=
2、r=1.故其体积V2=S正方形ABCD×PO=×22×1=.故该几何体的体积V=V1+V2=π+.2.如图,正四面体D-ABC的顶点A,B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy,Oz上,则在下列命题中,错误的是( )A.O-ABC是正三棱锥B.直线OB与平面ACD相交C.直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为D.异面直线AB和CD所成的角是90°答案 C解析 ①如图ABCD为正四面体,∴△ABC为等边三角形,又∵OA,OB,OC两两垂直,∴OA⊥平面OBC,∴OA⊥BC.过O作底面ABC的垂线,垂足为N,连接AN
3、交BC于M,可知BC⊥AM,∴M为BC的中点,同理可证,连接CN交AB于P,则P为AB的中点,∴N为底面△ABC的中心,∴O-ABC是正三棱锥,故A正确;②将正四面体ABCD放入正方体中,如图所示,显然OB与平面ACD不平行,则B正确;③由图可知:直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为,则C错误;④异面直线AB和CD所成角是90°,故D正确.3.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E为CD的中点,F为线段CE(端点除外)上一动点.现将△DAF沿AF折起,使得平面ABD⊥平面ABC.设直线FD与平面ABCF
4、所成角为θ,则sinθ的最大值为( )A.B.C.D.答案 C解析 如图,在矩形ABCD中,过点D作AF的垂线交AF于点O,交AB于点M.设CF=x(0<x<1),AM=t,由△DAM∽△FDA,得=,即有t=,由0<x<1,得<t<1.在翻折后的几何体中,∵AF⊥OD,AF⊥OM,∴AF⊥平面ODM,从而平面ODM⊥平面ABC,又平面ABD⊥平面ABC,则DM⊥平面ABC,连接MF,则∠MFD是直线FD与平面ABCF所成角,即∠MFD=θ,而DM=,DF=2-x=,则sinθ==t=,由于<t2<1,则当t2=
5、时,sinθ取到最大值,其最大值为.4.(2017届广东阶段测评)如图,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面体A′-BCD的顶点在同一个球面上,则该球的表面积为( )A.3πB.πC.4πD.π答案 A解析 由图示可得BD=A′C=,BC=,△DBC与△A′BC都是以BC为斜边的直角三角形,由此可得BC中点到四个点A′,B,C,D的距离相等,即该三棱锥的外接球的直径为,所以该外接球的表面积S=4π×2=3π.5.
6、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为( )A.2B.1C.D.答案 C解析 ∵球心在面BCC1B1的中心O上,BC为截面圆的直径,∴∠BAC=90°,底面外接圆圆心N位于BC的中点处,△A1B1C1外心M在B1C1中点上,设正方形BCC1B1的边长为x,在Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1,∴2+2=1,即x=,则AB=AC=1,∴=×1=.6.(2017·河北衡水中学四调)在棱长为6的
7、正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是BC的中点,点P是面DCC1D1所在的平面内的动点,且满足∠APD=∠MPC,则三棱锥P-BCD体积的最大值是( )A.36B.12C.24D.18答案 B解析 ∵AD⊥底面D1DCC1,∴AD⊥DP,同理BC⊥平面D1DCC1,则BC⊥CP,∠APD=∠MPC,∴△PAD∽△PMC,∵AD=2MC,∴PD=2PC,下面研究点P在面ABCD内的轨迹(立体几何平面化),在平面直角坐标系内设D(0,0),C(6,0),C1(6,6),设P(x,y),∵PD=2PC,∴=2,化简
8、得(x-8)2+y2=16(0≤x≤6),该圆与CC1的交点的纵坐标最大,交点坐标(6,2),三棱锥P-BCD的底面BCD的面积为18,要使三棱锥P-BCD的体积最大,只需高最大,当P点坐标为(6,2)时,CP=2,棱锥的高最大,此时三棱锥P-BCD的体积V=×18×2=12,故选B.7.(2017届福建厦门双十中学期中)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A
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