高三数学总复习 充分条件与必要条件基础知识讲解

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1、充分条件与必要条件【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件充要条件的概念符号与的含义“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：.充分条件、必要条件与充要条件①若，称是的充分条件，是的必要条件.②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.要点诠释：对的理解：

2、指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若

3、A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若，则”①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，

4、则”为真命题；②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，是的什么条件？(1):，:；(2):，:抛物线过原点(3):一个四边形是矩形，:四边形的邻边相等【解析】(1)∵:或,:∴且,∴是的必要不充分条件；(2)∵且,∴是的充要条件；(3)∵且，∴是的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式

5、1】指出下列各题中，是的什么条件？（1）：，：和是对顶角.（2），；【答案】（1）∵且，∴是的必要不充分条件，是的充分不必要条件.（2）∵∴，但，∴是的充分不必要条件，是的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中是的什么条件.（1）:且,:（2）:,:.【答案】（1）是的充分不必要条件.∵且时，成立；反之，当时，只要求、同号即可.∴必要性不成立.（2）是的既不充分也不必要条件∵在的条件下才有成立.∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2.已知p：0

6、x-1

7、<2，则p是q的（）（A

8、）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件X　　O　　3　-1　1　2　P　　Q　　【解析】q：

9、x-1

10、<2，解得-1

11、【变式1】设，则条件“”的一个必要不充分条件为（）A.B.C.D.【答案】A【变式2】下列各小题中，是的什么条件？（1）:,:；（2）:，:【答案】(1)是的必要不充分条件；(2)是的充分不必要条件.【变式3】设条件甲为“”，条件乙为“”那么甲是乙的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】B类型二：充要条件的探求与证明例3.设x、y∈R，求证：

12、x+y

13、=

14、x

15、+

16、y

17、成立的充要条件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是

18、x+y

19、

20、=

21、x

22、+

23、y

24、如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，

25、x+y

26、=x+y=

27、x

28、+

29、y

30、.当x＜0，y＜0时，

31、x+y

32、=－(x+y)