资源描述：
《2017版高考数学一轮复习 第十三章 选修4系列 57 几何证明选讲考点规范练 文 北师大版选修4-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、考点规范练57 几何证明选讲 考点规范练A册第46页 基础巩固组1.如图所示,已知DE∥BC,BF∶EF=3∶2,求AC∶AE和AD∶DB的值.解:∵DE∥BC,∴.∵BF∶EF=3∶2,∴.同理DE∥BC,得AB∶AD=3∶2,∴,则AD∶BD=2∶1.2.(2015南昌一模)如图,PA为圆O的切线,A为切点,PO交圆O于B,C两点,PA=20,PB=10,∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证:AB·PC=PA·AC;(2)求AD·AE的值.(1)证明:∵PA为圆O的切线,∴∠PAB=∠ACB,又∠P为公共角,∴△PAB∽△PCA,∴
2、,即AB·PC=PA·AC.(2)解:∵PA为圆O的切线,PC是过点O的割线,∴PA2=PB·PC,∴PC=40,BC=30.又∵∠CAB=90°,∴AC2+AB2=BC2=900.又由(1)知,∴AC=12,AB=6,连接EC,则∠CAE=∠EAB,△ACE∽△ADB,∴,AD·AE=AB·AC=6×12=360.〚导学号32470554〛3.如图,AB为圆O的直径,CD为垂直于AB的一条弦,垂足为E,弦BM与CD交于点F.(1)证明:A,E,F,M四点共圆;(2)若MF=4BF=4,求线段BC的长.(1)证明:如图,连接AM.由AB为直径可知∠AMB=90
3、°.又CD⊥AB,所以∠AEF=∠AMB=90°.所以∠AEF+∠AMB=180°.因此A,E,F,M四点共圆.(2)解:连接AC,由A,E,F,M四点共圆,可知BF·BM=BE·BA.在Rt△ABC中,BC2=BE·BA.又由MF=4BF=4,知BF=1,BM=5,所以BC2=5,BC=.4.(2015东北三校一模)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边上的中点,连接OD交圆O于点M.(1)求证:DE是圆O的切线;(2)求证:DE·BC=DM·AC+DM·AB.证明:(1)连接BE,OE,∵AB是直径,∴∠AEB=
4、90°.∵∠ABC=90°=∠AEB,∠A=∠A,∴△AEB∽△ABC,∴∠ABE=∠C.∵BE⊥AC,D为BC的中点,∴DE=BD=DC,∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO,∠DBE=∠DEB,∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°,∴∠OED=90°,∴DE是圆O的切线.(2)∵O,D分别为AB,BC的中点,∴DM=OD-OM=(AC-AB),∴DM·AC+DM·AB=DM·(AC+AB)=(AC-AB)·(AC+AB)=(AC2-AB2)=BC2=DE·BC.∴DE·BC=DM·AC+DM·AB.能力提升组5.如图,O为等腰三角形ABC内
5、一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC;(2)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.解:(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为☉O的弦,所以O在AD上.连接OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于☉O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△AB
6、C和△AEF都是等边三角形.因为AE=2,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=MN=,所以OD=1.于是AD=5,AB=.所以四边形EBCF的面积为×(.〚导学号32470555〛6.如图,AB切☉O于点B,直线AO交☉O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA;(2)若AD=3DC,BC=,求☉O的直径.(1)证明:因为DE为☉O直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°,从而∠CBD=∠BED.又AB切☉O于点B,得∠DBA=∠BED,所以∠CBD=∠DBA.(2)解:由(1)知
7、BD平分∠CBA,则=3,又BC=,从而AB=3.所以AC==4,所以AD=3.由切割线定理得AB2=AD·AE,即AE==6,故DE=AE-AD=3,即☉O直径为3.〚导学号32470556〛
