高三数学第一轮复习 7.5数列的前n项和学案（学生版）

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1、7.5数列的前n项和一、学习目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3．熟记一些常用的数列的和的公式．二、自主学习：【课前检测】1.（09年东城一模理15）已知递增的等比数列a满足aaa28,n234且a2是a,a的等差中项.(Ⅰ)求数列a的通项公式;(Ⅱ)若bloga,S是数324nn2n1n列b的前n项和,求使S424n成立的n的最小值.nn12n22.在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，求数列{bn}的前n项的

2、和．n＋1n＋1n＋1an·an＋1*3．已知在各项不为零的数列{a}中，a1,aaaa0(n2,nN)。n1nn1nn1（1）求数列{a}的通项；n（2）若数列{b}满足baa，数列{b}的前n项的和为S，求S.nnnn1nnn【考点梳理】（一）前n项和公式Sn的定义：Sn=a1+a2+…an。（二）数列求和的方法（共8种）1.公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:nn1222221（1）k123nn(n1)；（2）k1

3、23nn(n1)(2n1)；k12k16nn33333n(n1)22（3）k123n[]；（4）(2k1)135...(2n-1)n。k12k12.分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。3.倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的。4.裂项相消法：即把每一项都拆成正负

4、两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。c适用于其中{an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的aann111数列等。如：1）和（其中an等差）可裂项为：anan1anan1111111()；2）(aa)。（根式在分母上时可考虑n1nanan1danan1anan1d利用分母有理化，因式相消求和）常见裂项公式：111（1）；n(n1)nn11111（2）()；n(nk)knnk1111（3）[]；n(n1)

5、(n1)2n(n1)(n1)(n2)n11（4）(n1)!n!(n1)!212（5）常见放缩公式：2(n1n)2(nn1).n1nnnn15.错位相减法：适用于差比数列（如果a等差，b等比，那么ab叫做差比数列）nnnn即把每一项都乘以b的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。n如：等比数列的前n项和就是用此法推导的.6.累加（乘）法7.并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.n形如an＝(－1)f(n)类型，可采用两项合并

6、求。8.其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和等等。三、合作探究：题型1公式法例1（2005年春季北京17改编）数列{bn}的通项公式为bn=3n－1.（1）求数列{bn}的前n项和Sn的公式；（2）设Pn=b1+b4+b7+…+b3n－2，Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.ｎ2222变式训练1等比数列{an}的前ｎ项和Sｎ＝2－p，则a1a2a3an＝________.题型2分组求和法例2在数列an中，已知a1=2，an+1=4an－

7、3n＋1，n∈N.（1）设ban，求数列b的通项公式;nnn（2）设数列an的前n项和为Sn，求Sn。变式训练2（2010年丰台期末18）数列{a}中，a1，且点(a,a)(nN)在函n1nn1数f(x)x2的图象上.（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；（Ⅱ）在数列{a}中，依次抽取nnn1第3，4，6，…，22，…项，组成新数列{b}，试求数列{b}的通项b及前n项和S.nnnn题型3裂项相消法例3(武汉市2008届高三调研测试文科)设数列{a}的前n项和nnn2(1)S(-1)(2n4n1)

8、-1,(nN)。（1）求数列{a}的通项公式a；(2)记b，nnnnan求数列b前n项和Tnn变式训练3（2010年东城二模19改编）已知数列a的前n项和为S，a1，nn1S4a1，设ba2a．（Ⅰ）证明数列b是等比数列；n1nnn1nn1*（Ⅱ