平面向量,函数图象,方程曲线专题复习要点

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1、平面向量、函数图象、方程曲线专题复习要点赵春祥河北省特级教师由于平面向量的坐标表示与代数联系十分紧密，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介，因而它经常与函数、三角函数、解析几何综合在一起命题，这既考查了平面向量的有关知识，也考查了其它内容，体现了《考试大纲》中强调的“在知识交汇处命题”的原则．函数图象是函数的直观体现，图象中有非常多的信息量，比如定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、周期性等．图象信息选择题可以全面地考查考生的综合素质和能力，这样的题目解法灵活，是拉开分数档次的一种重要题型，也是近几年高考命

2、题的一个热点．以基础层次或中档难度的试题考查函数图象，特别是图象的平移、对称及伸缩变换，通过对图象的识别来考查函数的性质，在每年的高考试题中，以中等难度题型设计新颖的试题考查函数的性态——即函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图象的对称性等，近几年，以组合形式一题多角度考查函数的图象与性质的高考题正成为新的热点；“曲线”与“方程”是同一对象(即点的轨迹)的两种表现形式，曲线是轨迹的几何形式，方程是轨迹的代数形式．它们在表现和研究轨迹的性质时，各有所长．几何形式具有直观形象的优点，代数形式具有便于运算的优点，因而具有操作程序

3、化的长处．具体解题时最好将二者结合起来，这就是“数形结合”思想．所考查的数学思想方法除数形结合外，函数与方程、等件转化、分类讨论等数学思想；向量法、参数法、消元法、配方法、待定系数法、换元法等数学方法；以及利用韦达定理、判别式、曲线系方程、坐标法等技巧在考卷中都充分得到体现．AOBC例1(2007年全国高考陕西卷理科试题)如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为，与的夹角为，且

4、

5、=

6、

7、=1，

8、

9、=．若=＋(，R)，则＋的值为　　　　　．解一(坐标法1)：由题意，建立以为x轴、为y轴的平面直角坐标系，AOBC∵

10、

11、=

12、

13、

14、=1，

15、

16、=，∴=(，)，=(0，1)，=(，0)，又∵=＋，∴(，0)=，)＋，1)，5∴∴＋=6．解二(坐标法2)：由题意，建立以为x轴的平面直角坐标系，∵

17、

18、=

19、

20、=1，

21、

22、=，∴=(1，0)，=(，)=(，)，=(，)=(3，)，又∵=＋，∴(3，)=，0)＋，)，AOBCxy∴∴＋=6．解三(代数法1)：∵与的夹角为，与的夹角为，∴与的夹角为，∴·=0，即·(＋)=0，∴·＋=0，∴－＋=0，即=．①又=====．∴=3．②由①、②解得，=4，=2，∴＋=6．解四(代数法2)：∵与的夹角为，与的夹角为，∴与的

23、夹角为，又∵

24、

25、=

26、

27、=1，5∴·=

28、

29、·

30、

31、=，·=

32、

33、·

34、

35、=0，由=＋两边平方得：12=－＋，①由－=两边平方得：12＋=，②AOBCAB①、②联立求得=4，=2，∴＋=6．解五(几何法)：如左图，过C点作两条直线与直线、平行，分别交、的延长线于、两点，则四边形为平行四边形，且=＋=＋，=，=．由题意知，=，在Rt△中，

36、

37、==2，

38、

39、=4，∵

40、

41、=

42、

43、=1，∴=，=，即=4，=2或=－4，=－2(不合题意，舍去)，∴＋=6．评析：解法一和解法二展示的是，通过建立平面直角坐标系，将平面向量的夹角问题转化为平面向量数

44、量积的坐标问题，这也是将形化数的典型实例．解法三和解法四告诉我们，两向量的数量积是高考的核心内容，即为高考的一个命题点，填空题、选择题重点考查数量积的概念、运算律等问题，向量的数量积运算常用来解决有关角度、摸长等相关问题．在解法五中，通过深入挖掘平面向量的几何意义，化数为形，数形结合，也就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路．例2(2007年全国高考福建卷理科试题)如图，已知点，PBQMFOAxy直线，为平面上的动点，过作直线的垂线

45、，垂足为点，且．⑴求动点的轨迹的方程；⑵过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；5解：⑴由得：，∴，即，∴．所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．⑵由已知，，得．则：．…………①过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：．…………②由①②得：，即．例3．(2007年全国高考湖南卷理科试题)函数=的图象和函数=的图象的交点个数是()．A．4B．3C．2D．1xy321解：在同一个坐标系中，画出y=与y=的简图，由图直观看出两个函数图象的交点由个，故选B．评析：函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关

46、系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得解题方法的重要工具，通过借助于图形的直观性，以图助算，就可避免烦琐的计算．例4．(2007年全国高考卷一理科试题)设a＞1，函数=在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于()．A．B．2··．－1--11··－1xyC．D．4解：由a＞1，则=在区间[a，2a