学年下学期高二数学期末复习选修2-2定积分

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1、2012-20131学年下学期高二数学期末复习选修2-2定积分一、定积分与微积分基本原理（一）曲边梯形面积与定积分1．定积分定义设函数在上有界(通常指有最大值和最小值)，在与之间任意插入个分点，，将区间分成个小区间，记每个小区间的长度为，在上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并求和，记{}，如果当时，和总是趋向于一个定值，则该定值便称为函数在上的定积分，记为，即.2．定积分的几何意义定积分在几何上，当时,表示由曲线、直线、与轴所围成的曲边梯形的面积；当时，表示由曲线、直线、与轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线、两条直线、与轴之间的各部分面积的

2、代数和。3.定积分的性质性质1性质2性质3性质4（二）微积分基本定理1．基本定理若函数在上连续，且存在原函数，即，则在上可积，且，这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成（三）常用函数积分公式表（见课本115页）（四）定积分的求法（1）利用微积分基本定理求（2）利用定积分的几何意义求：例如（3）利用奇偶函数的性质求：若是上的奇函数，则；若是上的偶函数，则。（五）定积分的应用1.定积分在几何上的应用（1）求曲边梯形的面积（2）求旋转体的体积2.定积分在物理上的应用（1）变速直线运动物体的路程（2）变力所做的功例1．求下列定积分（1）（2）例2.，为何值时？最小。例3.已知，

3、，试求的取值范围。例4.求抛物线与直线所围成的图形的面积。例5.求由抛物线，所围成图形的面积。例6.由抛物线及其在点处两切线所围成的图形的面积。例7.曲线：，点，求过点的切线与围成的图形的面积。例8.求由曲线，轴，轴以及直线所围成的区域绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积。例9.求由曲线与所围成的图形的面积，并求该图形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积。1.下列等于1的积分是A.B.C.D.2.A.B.C.D.3.A.B.C.D.4.设函数的导函数，则A.B.C.D.5.已知为偶函数且，则A．0B．4C．8D．166.求由围成的曲边梯形的面积时，若以为积分变量，则积分区间为

4、A.B.C.D.7.曲线与坐标所围成的面积为A.4B.2C.D.38.由直线及轴围成平面图形的面积为A.B.C.D.9.已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为A.B.C.D.10.如果的力能拉长弹簧，为将弹簧拉长，所耗费的功是A.0.18B.0.26C.0.12D.0.2811.已知函数，若成立，则________12.已知，则当取最大值时，13.如图，设点从原点沿曲线向点移动，记直线、曲线及直线所围成的面积分别记为，若，求点的坐标．14.已知为二次函数，且，(1)求的解析式；(2)求在上的最大值与最小值．15.抛物线在第一象限内与直线相切，此抛物线与轴所

5、围成的图形的面积记为。求使达到最大值的的值，并求。例题参考答案例1．(1)3(2)2例2．解：当时，。例3．令，则，故为方程的两根故或例4．解：由或例5．解：由或例6．解：，例7．解：设切点，则切线：过，，即例8.解：例9.解：练习题参考答案1～5CBDAD6～10BDCCA11.-1或12.13.解：设，则直线的方程为：依题意，14.解：（1）设，则由得，即又，，从而（2）所以当时，；当时，15.解：依题设可知抛物线为凸形，它与轴的交点的横坐标分别为，所以………………………………（1）又直线与抛物线相切，即它们有唯一的公共点由方程组得，其判别式必须为0，即，于是，代

6、入（1）式得：令，在时得唯一驻点，且当时，；当时，。故在时，取得极大值，也是最大值，即时，取得最大值，且