新人教版选修2-2高二数学定积分教案教学设计

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1、4.1.2定积分1.复习不定积分的概念.2.讲授新课2.1两个引例引例1曲边梯形的面积由连续曲线()和及围成的平面图形称为曲边梯形(如图5-1).由于曲边梯形在底边上各点处的高在区间上是不断变化的,因而它的面积不能由公式底×高求得.为了计算曲边梯形的面积,我们可以先将它分割成若干个小曲边梯形,在小曲边梯形中的变化很小,可以用相应的小矩形近似代替,用所有小矩形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积.显然,分割的越细,近似程度就越高,当无限细分时,所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.根据以上分析,我们按下面的方法求曲边

2、梯形的面积.设函数在区间上连续,且.在上任取个内分点:,将区间分割为个小区间:图1记每一小区间长度为,过分点作轴的垂线,将曲边梯形分割为个小曲边梯形;设表示第个小曲边梯形的面积,则曲边梯形的面积为.在每个小区间上任意取一点,以为底边,为高作小矩形,则小矩形的面积为,当很小时,有若分点越多,就越小,上式的近似程度就越高,小矩形的面积总和也就越接近于曲边梯形的面积.即,此为曲边梯形面积的近似值.若用来表示所有小区间中的最大区间长度,当分点数无限增大且趋于零时,该近似值就趋近于曲边梯形的面积,即.我们把极限称之为曲边梯形的面积.引例

3、2变速直线运动的路程设质点运动的速度函数是连续变化的且大于零,考虑从时刻到时刻所走过的路程.我们仍然采用分割的方法:(1)用分点:将时间区间分成个小区间:,每个小区间的长度记为.(2)近似代替:在每一时间区间内任取一时刻,则质点在该时间区间走过的路程近似为,(3)求和:将每个时间区间上质点所通过的路程的近似值累加起来,就得到时间区间上质点所通过的路程的近似值,即(4)取极限:当分点无限增加时,记小区间最大的一个长度为,当时,则和式的极限就是质点从时刻到时刻的路程,即定积分的定义以上两个例子的实际意义不同,但处理问题的思想方法是

4、相同的,最后所得到的结果都归结为求和式的极限.数学上将这类和式的极限称作为定积分.定义1 设函数在上有定义,任取分点将分成个小区间,记为区间长度,,并在每个小区间上任取一点,得出乘积的和式若时,和式的极限存在,且此极限值与区间[]的分法及点的取法无关,则称这个极限值为函数在上的定积分,记为,即.(1)这里称为被积函数,称为被积表达式,叫积分变量,叫积分区间,称为积分下限,称为积分上限.若在上的定积分存在,则说在上可积.根据定义,在上述例中的曲边梯形的面积用定积分可以表示为;变速直线运动的质点的路程可以表为:.关于定积分的定义,

5、有以下说明:(1)定积分的值只与被积函数、积分区间有关,与积分变量的符号无关.即.(2)定义中要求,若、时有如下规定:当时,,即互换定积分的上、下限,定积分要变号.当时,.在怎样的条件下,在上的定积分一定存在呢?有下面的定理:定理1如果在上连续,则在上可积.定理2如果在上有界,且只有有限个间断点,则在上可积.由此可知,初等函数在其定义区间内都是可积的.定积分的几何意义在讨论曲边梯形面积时,假定,曲边梯形的图形在轴的上方,则积分值是正的,即;若,图形在轴的下方,则积分值是负的,即;若在上有正有负时,则积分值就表示曲线在轴上方和轴

6、下方的面积的代数和.如图2所示.例1用定积分表示图中阴影部分的面积.图4解(1);(2).图3图5例2利用定积分的几何意义,说明的成立.解的几何意义是由曲线,,围成的图形的面积,如图5-5所示,求得面积为,故.定积分的性质设、在区间上可积,则根据定义可推证定积分有以下的性质:性质1.性质2常数因子可直接提到积分符号前面..性质3代数和的积分等于积分的代数和,即.这一结论可以推广到有限多个函数代数和的情况.性质4对任意的点,有.这一性质称为定积分的可加性,无论还是,性质均成立性质5如果在上有,则.特别地,当时,.性质6(估值定理

7、)若函数在区间上的最大值与最小值分别为和,则.这是因为,由性质5得,再由性质1和性质2即可得结论.性质7(积分中值定理)设在闭区间上连续,则至少存在一点,使.其几何意义是:设,则由曲线,直线及轴所围成的曲边梯形面积等于以区间为底,以为高的矩形的面积(如图6所示).我们称为在上的平均值.例3比较下列各对积分值的大小:(1)与;(2)与.解(1)因为在上,所以.(2)因为在上,所以.例4估计定积分的值.解因是指数函数,由指数函数的性质知,在上的最大值为,最小值为,由性质6有,即.小结定积分的概念(1)定积分的实际背景是解决已知变量

8、的变化率,求它在某范围内的累积问题.通过“分割,局部以不变代变得微量近似,求和得总量近似,取极限得精确总量”的一般解决过程,最后抽象得到定积分的概念.即.(2)据定积分的定义,在[a,b]上连续非负函数的定积分总表示由y=f(x),x=a,x=b与x轴围成的单曲边梯形的面积,

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