多元函数的微分法及其应用(解题方法归纳

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1、第九章多元函数的微分法及其应用解题方法归纳一、与多元函数的概念、性质有关的问题多元函数（主要考虑二元函数）虽然与一元函数比较，只是自变量增加了一个或数个，但却比一元函数复杂的多，很多结论都不是一元函数简单的推广.这部分题目主要考查多元函数在一点处的连续、可导（偏导数存在）、可微、偏导数连续和方向导数等概念及它们之间的关系.例1设，求.解由，则由，则例2设在点处的两个偏导数都存在，则必有（）.存在常数，使与当时，解表示在点处的极限存在；表示在点处连续；表示在点处可微.但当两个偏导数存在时，上述结论均不成

2、立，故应选.事实上由于一元函数可导一点连续知与均成立.『方法技巧』要求熟练掌握一切与多元函数有关的概念、结论，尤其是区别与一元函数结论不同的内容.二、偏导数和全微分的计算方法常用的偏导数和全微分的计算方法归纳如下：1.多元显函数的偏（全）导数求多元显函数的偏导数的方法：对其中一个自变量求偏导数，将其余自变量看成常量，利用一元函数求导方法完成.例3设，则.解1上式再对求导，得将代入上式得解2由于在点处，二阶混合偏导数连续，故『特别提醒』1.多元初等函数的偏导数仍然是初等函数，初等函数在其定义区域内连续.

3、2.若二元混合偏导数连续时，与求导次序无关.3.求函数确定点处的偏导数时，可以先代后求，比如2.多元复合函数的偏（全）导数常用求多元复合函数的一阶偏导数的公式（根据复合过程）：『温馨提醒』1.对不同的复合过程，需要根据题目具体分析，最好能画出示意图.2.在写导数公式时，需坚持：“分段用乘，分叉用加；单路全导，叉路偏导”的原则.3.对抽象函数，为了方便，常用下列记号：求多元复合函数偏导数的方法方法1讨论清楚复合过程后，利用求导公式，直接计算偏导数.方法2利用全微分形式不变性.例4设，求复合函数的偏导数与

4、.分析这是一个求抽象复合函数的偏导数问题，但不是上面已给公式代表的任何一种复合过程，其复合过程如图所示解所求偏导数为『特别提醒』式子中的与不同，要用不同的记号表示.例4设，其中为可导函数，求.分析利用全微分形式不变性，一次求出两个偏导数.解对所给函数两边微分整理得所以故例5设，其中有二阶连续偏导数，求.解1直接求一阶和二阶偏导数解2利用全微分形式不变性由此知所以『特别提醒』1.和与有相同的复合关系，再对求偏导时，仍需先对第一和第二个变量求偏导.2.由于有二阶连续偏导数，故最终需合并和.3.多元隐函数的

5、偏（全）导数求多元隐函数偏导数的方法方法1根据复合关系，直接对方程两边求偏导数，解出所需结果.方法2利用隐函数求导公式.方法3利用全微分形式不变性.例6设是由方程确定的隐函数，且具有一阶连续偏导数，求.解1将隐函数方程的两边分别对求偏导数，将看成的函数.解得解2利用隐函数求导公式令，则故解3利用全微分形式不变性对隐函数方程两边微分整理得故『特别提醒』可以选一种适合自己的方法解此类问题.例7若从方程中可以解出，则下列各式中不成立的是（）.解是对所给方程的微分，故成立.下面分别求出.利用隐函数求导公式得所

6、以，即和均成立，故选.『特别提醒』1.此题说明，偏导数符号是一个整体，不能看成商的形式.2.求时，也可用另外两种方法.例8设是由方程确定的隐函数，其中具有二阶连续偏导数，且，求.解将方程的两边同时对求偏导，有继续将式的两边对求偏导，得将代入上式并整理得『特别提醒』此题也可用计算，但和的复合关系均要看成与相同.4.多个关系式确定的隐函数的偏（全）导数求多个关系式确定的隐函数的偏导数的方法对全部给出的关系式求全微分，建立一个方程组，解出所求结论即可.例9设是由方程和确定的隐函数，其中和分别有一阶连续导数和

7、一阶连续偏导数，求.解对给定的两个方程和微分，有消去并整理得三、多元函数极值的计算方法1.无条件极值求有连续偏导数的函数的极值的方法：方法1一般步骤：（1）求出的全部驻点.（2）利用极值存在的充分条件判定驻点是否为极值点.，不是极值.其中.（3）求出各极值点处的函数值.方法2配方法：适用于多项式或类似多项式的函数.例10求由方程确定的函数的极值.解1将原方程的两边分别对求偏导数，有令，得驻点.再将中的第一个方程分别对求偏导数，第二个方程对求偏导数，有将驻点代入中（注意驻点处），得因所以是极值.将代入原

8、方程得.当时，，故为极小值.当时，，故为极大值.解2将原方程变形为则由初等数学的知识知，当时，根式中的极大值为4，所以为极值，故是极大值，是极小值.『特别提醒』对于此题而言，第一种方法比较麻烦，需要非常耐心细致.与之比较配方法要简单的多，但并不是所有问题都可用配方法解决，要针对具体的问题，具体分析.2.条件极值和最值（1）求函数满足条件的极值的方法：方法1化为无条件极值，即由条件解出，代入原函数中，求的无条件极值.方法2利用拉格朗日法求解（一般方法）.（