例谈数学新教材中的数学史

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1、例谈数学新教材中的数学史广州大学理学院数学系卢建川摘要：本文主要选取新教材北京师范大学、华东师范大学出版的数学教科书中的阅读材料与读一读中有关数学史的问题进行简单分析、拓展。关键词：欧拉公式多面体黑洞数皮克公式格点面积正文一、“数学史选讲”的主要形式二、数学发展简史三、例谈数学新教材中的数学史(一)、欧拉公式1、欧拉公式的相关史料及其发现过程2、欧拉定理3、欧拉示性数4、研究简单多面体欧拉定理的重要意义5、欧拉公式的应用(二)、黑洞数的种种1、黑洞数6174、495……2、黑洞数375889和1、371、370、407、153等16145420423、黑洞数

2、4→2→1→4→2→14、黑洞数1235、黑洞数0(三)、皮克公式1、皮克公式2、皮克公式的应用附：1、蜂房问题2、圆锥曲线的实际背景3、数列求和的思想与方法4、的近似求值一、“数学史选讲”的主要形式1、设置“数学史选讲”的必要性数学发展的历史是一部内容丰富、思想深刻的历史。通过生动、丰富的事例，使学生了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，有助于学生对数学的全面认识和了解，有助于学生对数学在人类社会的发展中所发挥作用的了解，有助于学生对科学技术、社会、政治、经济等方面对数学发展所起的作用的了解，有助于学生学习数学兴

3、趣的培养，有助于学生感受数学家的严谨和锲而不舍的探索精神。2、处理好“数学史选讲”的两个要求的关系一方面，不要求学生系统学习数学史，不必追求整个数学或某个分支发展历史的系统性和完整性，通过学生容易理解的内容、生动活泼的语言和喜闻乐见的事例呈现数学发展历史的一些过程，使学生体会数学的重要思想和发展轨迹。另一方面，绝非将一个数学家的故事或一项数学发展中的曲折事例放到某一教学内容的后面那么简单，而是要求将数学的发展历史有计划、有目的、和谐地与数学教育内容进行整合。一、数学发展简史（一）数学的萌芽时期（前3500年---前600年）古埃及数学、古巴比伦数学、古印度数

4、学、古中国数学（二）初等数学时期（前600年---17世纪中叶）希腊文明时期（雅典时期：爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派）（亚历山大前期：欧几里德、阿基米德、阿波罗尼斯）（亚历山大后期：海伦、丢番图）东方数学（中国古代数学的高度发展：）（印度数学：）（阿拉伯数学）中世纪和文艺复兴时期的欧洲数学（斐波那契）（三次和四次方程、韦达、三角学、小数和对数）（三）变量数学时期（17世纪中叶---19世纪20年代）变量数学建立（笛卡儿和解析几何的创建、费尔马、射影几何、）微积分的发明变量数学的发展（四）近代数学时期（19世纪20年代----1945年）高等微积分的发展形形色

5、色的几何学各种各样的代数分析的算术化希尔伯特和哥廷根学派（一）现代数学时期应用数学数学计算机数学数学哲学三、例谈数学新教材中的数学史（一）、欧拉公式（一）欧拉公式的相关史料及其发现过程古希腊的毕达哥拉斯学派对正多面体进行过许多研究，因为在柏拉图的唯心主义体系中，它们被认为是可以作为宇宙基石的最简单的理想物体。这些结果被收入了《几何原本》中，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。欧几里得曾试图证明只有这五种正多面体，但未能成功。这一问题的解决，完全不同于我们平时所习惯的几何方法，它不是依靠度量的量（长度、面积、体积角度等），而是依靠简单的

6、算术量——多面体的面数、棱数和顶点数之间的内在关系。17世纪法国著名数学家笛卡儿已经注意到：任意的封闭多面体的面、棱、顶点的数目之间存在一定的关系，以图1中的正多面体为例列表（图1）正多边形顶点数（v）面数(F)棱数(E)正四边形446正六边形8612正八边型6812正十二边形201230正二十边形122030(表1)从五个正多面体我们发现了：V+F-E=2,那么这个规律适合哪些多面体呢？到1750年，瑞士的数学家欧拉发现,不论什么形状的凸多面体，其顶点数v、棱数e、面数f之间总有v-e+f=2这个关系。v-e+f被称为欧拉示性数。这就是后人以他名字命名的“

7、欧拉公式定理”。欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F之间有关系V＋F－E＝2这个定理叫做欧拉定理。其关系式叫做欧拉公式。这个欧拉公式的严格证明是由18世纪最著名的数学家欧拉给出的。它也是这种非度量的几何学——拓扑学的历史上第一定理，这公式的证明方法是新颖而巧妙的，与我们所熟悉的度量的几何学的证明大不相同。下面我们先来简单介绍一下多面体的变形与简单多面体的概念，然后再对上述关系式给出证明。我们考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面。（如图2）（图2）像这样，表面经过连

8、续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体．棱柱、棱锥