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《习题71定积分的概念和可积条》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第七章定积分习题7.1定积分的概念和可积条件1.用定义计算下列定积分：⑴;⑵().解（1）取划分：，及，则，于是，即。（2）取划分：，及，则，于是。因为，，所以，即。⒉证明，若对的任意划分和任意，极限都存在，则必是上的有界函数。证用反证法。设，则取，对任意的划分与任意，只要，就有。取定了划分后，与也就确定，如果在上无界，则必定存在小区间，在上无界。取定，必可取到，使不成立，从而产生矛盾，所以必是上的有界函数。208⒊证明Darboux定理的后半部分：对任意有界函数，恒有。证，因为是的上确界，所以，使得
2、。设划分，是的上、下确界，取，对任意一个满足的划分，记与其相应的小和为，现将的分点合在一起组成新的划分，则由引理7.1.1，。下面来估计：（1）若在中没有的分点，则中的相应项相同，它们的差为零；（2）若在中含有的分点，由于两种划分的端点重合，所以这样的区间至多只有个。由的取法，可知，所以在中只有一个新插入的分点，这时中的相应项的差为，从而。综合上面的结论，就有，即。208⒋证明定理7.1.3。证必要性是显然的，下面证充分性。设，存在一种划分，使得相应的振幅满足，即。取，对任意一个满足的划分，现将的分点
3、合在一起组成新的划分，则由Darboux定理的证明过程，可得，由定理7.1.1，可知在上可积。⒌讨论下列函数在[0,1]的可积性：⑴⑵⑶⑷解：（1），且在[0,1]上的不连续点为与。，取定，在区间上只有有限个不连续点，所以在上可积，即存在的一个划分，使得，将的分点和0合在一起，作为[0,1]的划分，则，由定理7.1.3，在[0,1]上可积。208（2）因为对[0,1]的任意划分，总有，所以，由定理7.1.2可知在[0,1]上不可积。（3）因为对[0,1]的任意划分，在上的振幅为，于是，所以在[0,1]
4、上不可积。（4），且在[0,1]上的不连续点为与。，取定，则在上只有有限个不连续点，所以在上可积，即存在的划分，使得。将的分点与0合在一起作为[0,1]的划分，则，所以在[0,1]上可积。6.设在上可积，且在上满足（为常数），证明在上也可积。证任取的一个划分：，则，由于在上可积，，当时，，从而，所以在上可积。7.有界函数在上的不连续点为，且存在，证明208在上可积。证不妨设，且，并设。，取，则，当时，。由于在和上只有有限个不连续点，所以在和上都可积，即存在的一个划分和的一个划分，使得。将、的分点合并在
5、一起组成的一个划分，则，所以在上可积。或的情况可类似证明。8．设是区间上的有界函数。证明在上可积的充分必要条件是对任意给定的与，存在划分，使得振幅的那些小区间的长度之和（即振幅不能任意小的那些小区间的长度之和可以任意小）。证充分性:设。,存在划分,使得振幅的那些小区间的长度之和,于是，即在上可积。必要性：用反证法，如果存在与，对任意划分，振幅的小区间的长度之和不小于,于是，208则当时，不趋于零，与在上可积矛盾。9.设在上可积，,在上连续，证明复合函数在上可积。证由于在连续,所以可设，且一致连续,于是
6、,,,只要,就成立。由于在可积,由习题8,对上述与,存在划分,使得振幅的小区间的长度之和小于,于是，即复合函数在上可积。208
