《习题六微分方程》word版

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1、习题六一．求解下列微分方程.⑴[解答]令，则原微分方程可变化为解其对应的齐次方程，可得令为原方程的解，代入方程有，解得，所以故原方程的解为⑵[解答]原方程可变换为解得，即，又，则，故二．求解下列微分方程.⑴[解答]令，则，原方程可变换为即，解得，将代入可得⑵[解答]设，将方程右端同除后可变换为解得即由可得，故所求方程为三．求解下列微分方程.⑴[解答]令，又，则原方程式可变换为解其对应的齐次方程，可得令为原方程的解，代入方程有解得所以⑵[解答]方程可变换为其对应其次方程可解为，积分可得，即，齐次方程的通解为令，代入原式中有，积分可解得故原方程

2、的通解为⑶[解答]设，则，所以原式可变换为由贝努利方程，设，则方程变换为其对应的齐次方程的解为，令，代入原方程中可解得所以，即五．求解下列微分方程⑴[解答]原式可变换为，即设，则原方程可变换为其对应的齐次方程的通解为令为原方程的解，代入原式中有，可解得故⑵[解答]原式可变换为由贝努利方程，设，则原式可变换为其对应的齐次方程的通解为令为原方程的解，代入可得解得所以六．函数在实轴上连续，存在，且具有性质，试求出.[解答]在实轴上连续，设，则可得又存在，则对任意，有即处处可微且满足解得又故八．求解下列方程⑴[解答]原式可变换为，即令，则又变换为，

3、即解此方程可得又，则，所以⑵[解答]令，则，则原式可变换为解此方程可得，即又，则，所以九．求解下列方程⑴[解答]令，则原方程可变换为即，积分可得即解得⑵[解答]令，则原方程可变换为解得，又，可得所以，则，又，可得故⑶[解答]令，则原方程可变换为令，则原方程又可变换为解此方程可得，当时，，可得则，又，可得所以十二．求解下列微分方程.⑴[解答]令，即，则原方程可变化为即相应特征方程为齐次方程通解特解所以原式的通解为⑵[解答]令，即，则原方程可变化为即相应特征方程为   齐次方程通解特解所以原式通解为五．一质量为的物体，在粘性液体中由静止自由下落

4、，假如液体阻力与运动速度成正比，试求物体运动的规律.[解答]物体受到的重力为，阻力为，则，其中，，则方程式变为令，则方程式变化为解其对应的齐次方程，可得令为原方程的解，代入方程有，解得，所以，又，则，又，则所以十六．有一盛满水的圆锥形漏斗，高，顶角，漏斗尖处有面积为㎡的小孔，求水流出时漏斗内水深的变化规律，并求出全部流出所需要的时间.[解答]从时刻到小孔流出的水量为在此时间内，液面由降至，水量减少为由题意可知，则，且当时，㎝.所以方程为当水全部流出时，，.十七．设经过原点的曲线族上任一点处的切线交轴于点，从点向轴作垂线，其垂足为，已知与轴所

5、围成的三角形的面积与曲边三角形的面积之比等于常数，试求该曲线族.[解答]为曲线上一点，则切线的方程为，坐标为,由题意可知三角形的面积为曲边三角形的面积为又，则，对方程两边求导可得化简可得令，代入方程可得解得，即又，则解得，即.十八．有一房间容积为，开始时房间空气中含有二氧化碳，为了改善房间的空气质量，用一台风量为/分的排风扇通入含的二氧化碳的新鲜空气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？[解答]设在时刻，的含量为，则在时间内进入房间的的含量为，排出房间的的含量为所以在内的改变量为化简得解得又则，即

6、所以当时，，即的含量为.