高阶导数和高阶微分泰勒公式

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1、129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式1.高阶导数和高阶微分在§2-3中,我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地,函数的阶导数就是而阶微分就是(是自变量;被看成与无关的有限量)因此,按照莱布尼茨的记法,函数的阶导数也可记成或简记成(注意的位置)这样,导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到阶导数与阶微分的关系中.例33因为指数函数的导数,所以.依次类推,则有例34对于函数,则一般地,;.同理,对于函数,有;.例35对于函数,则一般地,(阶导数)(阶微分)例36设函数.证明:.证一方面,函数在点0是连续的,因为129129§2-9高阶导数和高阶微

2、分·泰勒公式另一方面,[点0的导数等于点0近旁导数的极限]因此,一阶导数在点0是连续的.一般地,当时,容易看出,对于任何正整数,[其中为关于的多项式]且根据洛必达法则,(※)于是,因为一阶导数在点0是连续的,根据式(※),所以且在点也是连续的.依次类推(或用数学归纳法),可得2.泰勒公式一个次多项式中,它的系数与有什么关系呢?显然,;又因为所以,,,,,因此,129129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式⑴带皮亚诺余项的泰勒公式对于一般的函数,若它在某点有一阶导数(即可微分),根据定义,则有即若函数在点有二阶导数,令则有即.因此,一般地,用相同的方法可以证明下面的结论(请你完成它的证明).泰

3、勒定理1若函数在点有阶导数,则函数在点有展开式与上面多项式的情形不同,这里多出最后的“余项”,称它为皮亚诺(G.Peano)余项.上面的展开式就称为函数在点带皮亚诺余项的阶泰勒公式.需要指出,习惯上把函数在点的泰勒公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式(*)《微积分学教程》([俄]菲赫金哥尔茨著)中说,这是没有根据的。.特别,根据例33、例34和例35中的高阶导数公式,则有,,,.⑵带拉格朗日余项的泰勒公式假若函数在含点的某区间内有一阶导数129129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式,根据微分中值定理,当足够小时,则有(拉格朗日公式)或一般情形下,有下面的结论.泰勒定理2若函数在点及其

4、近旁有阶导数,则在点及其近旁有其中余项称为拉格朗日余项,而称上面的展开式为带拉格朗日余项的阶泰勒公式.特别,当时,泰勒公式就是拉格朗日公式.证为书写简单起见,以下记,并考虑等式(※)其中为待定数(当确定后,它是常数).作辅助函数它在区间上满足罗尔定理的条件,所以有使;而所以.因此,在区间上满足罗尔定理的条件,所以又有使.依次类推,就会有使,而且.最后,函数在区间上满足罗尔定理的条件,所以有使,即.因此,把它代入式(※),则得129129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式因为其中,所以它就是泰勒公式其中余项需要指出,习惯上也把函数在点的泰勒公式称为麦克劳林公式.其中余项(拉格朗日余项)总结:令

5、,则和都称为泰勒公式,但有下面的不同处:第一,前者只假设在点有阶导数,并且推广了;后者要假设在含点的某个区间内有阶导数,并且推广了拉格朗日公式第二,前者的余项只给出极限形式,不能估计近似公式(泰勒多项式)的误差,而后者的余项给出的是有限形式,能够用来估计上述近似公式的误差,即譬如,近似计算函数在点近旁的函数值时,可由给出的精确度和的变化范围,根据上面的估计式,确定多项式的次数;或者根据次数和的变化范围,确定一个近似公式的精确度.例37设.因为,所以.因此,函数的麦克劳林公式为129129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式由此得近似公式问:当时,取多么大的,才能使这个近似公式的精确度.解当时,

6、经过试算,只要取,近似公式()的误差不超过,因为例38函数的n阶导数为,所以,函数的麦克劳林公式为其中余项的拉格朗日形式为取,则有近似公式而误差习题1.求:其中⑴;⑵(为常数);⑶;⑷;⑸(提示:);129129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式⑹(提示:);⑺;⑻(提示:);⑼.答案:⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺;⑻;⑼.2.将多项式表示成的正整指数幂的多项式.提示:选取.答案:.3.设为次多项式.证明:是的重根的充分必要条件为4.求极限提示:.答案:.5.求极限.答案:.提示:首先作恒等变换然后注意,.6.若函数在点有直到阶的导数,且证明:⑴当为偶数且时,是极大值;⑵当为偶数且时,是极小值

7、;129129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式⑶当为奇数时,不是函数的极值点,而是函数的拐点.【注】函数在点取到极小值(也是最小值),而.这说明题中的条件是函数取到极值的充分条件,不是必要条件!7.设函数在区间上有二阶导数,且.证明:至少存在一点,使提示:取区间的中点,根据带拉格朗日余项的泰勒公式,则①②8.设函数在区间内有二阶导数.若证明:.提示:根据带拉格朗日的泰勒公式,对于任意正数,从而

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