x02-9高阶导数与泰勒公式

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1、§2-9高阶导数和高阶微分。泰勒公式一、高阶导数和高阶微分定义记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,高阶微分设函数y=f(x)在区间（a,b)内有微分dy=d(f(x))=f’(x)dx若导函数f’(x)在点（a,b)可微分则称：d2y=d(dy)=d[f’(x)dx]=f”(x)(dx)2=f”(x)dx2为函数y=f(x)在点x的二阶微分。dny=f(n)(x)(dx)n=f(n)(x)dxn为函数y=f(x)在点x的n阶微分例1解同理可得例2解因此，n次多项式的n+1阶导数必为零。例3解例4解高阶导

2、数的运算法则:莱布尼兹公式形式与牛顿二项公式相似：例1解例2解有时在求导前，应对函数作适当变换。解解例3例4解不足:问题:1、精确度不高；2、误差不能估计.问题的提出二.泰勒公式.求n次近似多项式要求:故令则...泰勒(Taylor)中值定理1如果函数f(x)在含有x0具有直到n阶的导数,则在x0点有展开式：o[(x-x0)n]为佩亚诺余项（Peano)上式为带佩亚诺余项的n阶泰勒公式X0=0麦克劳林(Maclaurin)公式:泰勒(Taylor)中值定理2或0<θ<1拉格朗日形式的余项证:函数展开为n阶马克劳林公式的步骤：1）求n阶导数f(n)(x)(2)求n

3、阶导数在x0=0处的值f(n)(0)(3)计算例1.写出f(x)=ex的n阶麦克劳林公式.解：所以间接展开法例2.求f(x)=sinx展开到n阶的麦克劳林公式解：因为m=2m=3oyxy=xy=sinx常用函数的麦克劳林公式例4按(x-4)的幂展开多项式f(x)=x4-5x3+x2-3x+4利用泰勒公式计算极限例1解利用泰勒公式证明题：例(P148)：设f(x)在(a,b)上具有二阶导数，且f’(a)=f’(b)=0,则在(a,b)内至少存在一点ξ使：证明：例2设f(x)在[-1，1]上三次可导，且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0证明：存在-1

4、<1使f’”(x0)≥3证明：利用Talyor公式f(1)=f(0)+f’(0)+1/2f”(0)+1/6f’”(ξ1),0<ξ1<1f(-1)=f(0)-f’(0)+1/2f”(0)-1/6f’”(ξ2),0<ξ2<1即：1=f(0)+1/2f”(0)+1/6f’”(ξ1),（1）0=f(0)+1/2f”(0)-1/6f’”(ξ2),（2）（1）-（2）得：f’”(ξ1)+f’”(ξ2)=6取f’”(x0)=max{f’”(ξ1),f’”(ξ2)}则有：f’”(x0)≥3例(P148)证明（1）当n为偶数>0,f(x0)为极小值同理（2）当n为奇数所以不是极值

5、点所以不是极值点