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1、§1－7 高阶偏导数及泰勒公式由于它们还是x,y的函数.因此,可继续讨论一、高阶偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数.类似,可得三阶,四阶,…,n阶偏导数.例1.解:若不是,那么满足什么条件时,二阶混合偏导数才相等呢?问题:是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?若z=f(X)=f(x,y)的两个混合偏导数则定理1分析.按定义f(x0,y0+y)–f(x0+x,y0)+f(x0,y0)]同理f(x0+x,y0)–f(x0,y0+y)+f(x0,y0)]证:分别给x,y以改变量x,y,使(x0+x,y0+y), (x0+x,
2、y0)及(x0,y0+y)均在U(X0)内.记A=[f(x0+x,y0+y)–f(x0+x,y0)]–[f(x0,y0+y)–f(x0,y0)](x)=f(x,y0+y)–f(x,y0),有A=(x0+x)–(x0)即(x)在x0的某邻域内可导,故满足拉格郎日中值定理条件.因A=(x0+x)–(x0),(x)=f(x,y0+y)–f(x,y0),A='(x0+1x)x再对变量y用拉格朗日中值定理.得另外,A=[f(x0+x,y0+y)–f(x0,y0+y)]–[f(x0+x,y0)–f(x0,
3、y0)]记(y)=f(x0+x,y)–f(x0,y),从而A=(y0+y)–(y0)(由拉格朗日中值定理)故1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形.同时可推广到二元以上的函数情形.即,若混合偏导数连续,则混合偏导相等(即求混合偏导与求导顺序无关).注2.若多元函数f(X)在区域D内有(直到)k阶连续偏导.则记为f(X)Ck(D).k为非负整数.若f(x,y)Ck(D),则不论求导顺序如何,只要是对x求导m次,对y求导k–m次,都可写成例2.解:比较知a=1,b=0.例3.解:设u=x+y+z,v=xyz,从而w=f(u
4、,v)是x,y,z,的复合函数.由链式法则.注意：还要用链式法则来求.例4.解:例5.解:(1)由隐函数求导公式从而,(2)上式两端对x求偏导.此时右边的z看作x的的函数.y要看作常数.有例6.设方程组解:(1)先求一阶偏导.注意,u,v看作x,y的函数.得方程两边对x求偏导.从而,(2)从而,例7.设u=f(x,y,z),y=x3,(x2,lny,z)=0.解:u=f(x,x3,z)(x2,3lnx,z)=0易见z,u均x的函数,方程两边对x求导数.得从而和一元函数一样,多元函数也有高阶微分的概念.我们只介绍二元函数的高阶微分.若dz
5、还可微,则记d2z=d(dz),称为z的二阶微分.二、高阶微分下边推导z的k阶微分的计算公式.设以x,y为自变量的函数z=f(x,y)Ck.由于x,y为自变量,故dx=x,dy=y,与x,y的取值无关.固定x,y,,(即将它们看作常数),求dz的微分.且d2z=d(dz)记引进记号.这相当于规定了"将字母z移到括号外"的方法。实际上，它把C1中的每一个z,通过上述运算,映成了dz.若记这个映射为g,则比较两端式子,可看出,不过是用一个我们陌生的式子来代替字母g而已.即,我们把这个映射称为一阶微分算子.类似,记并规定:故,二阶微分算
6、子实际上就是一阶微分算子g复合二次.只不过这种复合运算在上述规定下,可以看作是一阶微分算子一般,若形式上规定.(1)当z=f(x,y)Ck时,z有k阶微分.(2)只有把它按上述规定,展开后,再将各项"乘"以z(即,将z补写在k后面),一切记号才回复到导数和微分的意义.注(3)它本质上是一个映射.它将Ck中的元素z映成dkz.(4)若x,y不是自变量,dkz一般不具有上述形式.§1－8 方向导数函数的导数就是函数的变化率.比如,y=f(x),如图xoyx0x0+xx0+xyx<0x>0y=f(x)一、方向导数的概念xoyx0x0
7、+xx0+xyx<0x>0y=f(x)表示在x0处沿x轴正方向的变化率.表示在x0处沿x轴负方向的变化率.又比如,z=f(x,y),偏导数分别表示函数在点(x0,y0)沿x轴方向,沿y轴方向的变化率.如图xoyzx0(x0,y0)y表示在(x0,y0)处沿y轴正方向的变化率.表示在(x0,y0)处沿y轴负方向的变化率.但在许多实际问题中,常需知道f(X)在X0沿任何方向的变化率.比如,设f(X)表示某物体内部点X处的温度.那么,这个物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度.因此有必要引进f(X)在X0沿一给定方向的方向导数.把
8、偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念.yxzoz=f(x,y)X0M0即f'x(x0,y0)表示y=y0与z=f(x,y)的交线在M0处的切线对x的斜率.T11:z=f(
