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1、数学科学学院本科学年论文泰勒公式的展开及其应用泰勒公式及其应用摘要本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从六个方面对泰勒公式进行综合论述利用泰勒公式求极限、证明中值公式、证明不等式、估计、在方程中的应用、在近似计算的的应用。关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项泰勒级数81数学科学学院本科学年论文泰勒公式的展开及其应用一、泰勒公式及其余项1：泰勒公式对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构造一个次多项式，称为函数在点处的泰勒(Taylor)多项式,
2、的各项系数称为泰勒系数。2：泰勒余项定理1：若函数在点存在直到阶导数，则有；即其中称为泰勒公式的余项。形如的余项称为佩亚诺型余项。特殊的当时;称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式。定理2：（泰勒定理）若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点(a,b)使得其中,,称为拉格朗日型余项。特殊的当时;81数学科学学院本科学年论文泰勒公式的展开及其应用称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式。一、泰勒公式的应用1、利用泰勒公式求极限例1，求极限解：因而求得例2，设函数在上二次连续可微，如果存在，且在上有
3、界，求证：证：要证明，即要证明:,当x>时,利用泰勒公式,,即⑴记因有界，所以,使得故由⑴知⑵,首先可取.充分小，使得,然后将固定.因,所以,当时从而由⑵式即得例3，设⑴在内是阶连续可微函数，此外⑵当时,有，但是；81数学科学学院本科学年论文泰勒公式的展开及其应用⑶当时,有①其中证明：证：我们要设法从①式中解出.为此,我们将①式左边的及右端的在处展开.注意条件⑵,知使得.,于是⑴式变成从而因利用的连续性,由此可得1、证明中值公式例4，设在上三次可导,试证:使得⑴证：（待定常数法）.设为使下式成立的实数⑵这时，我们的问题归为证明:使得⑶令⑷则81数学科学学院本科学年论文泰勒公式的
4、展开及其应用根据罗尔定理,,使得,由⑷式,即:⑸这是关于的方程，注意到在点处的泰勒公式:⑹其中，比较⑸，⑹可得式⑶证毕。1、证明不等式例5，设有二阶导数,试证证：二式相加，并除以,有令取极限得：2、估计例6，若在上有二阶导数,,试证:,使得⑴证：应用泰勒公式，将分别在点展开，注意,使得⑵⑶(3)-(2)得,故例7，设在上有二阶导数,时,81数学科学学院本科学年论文泰勒公式的展开及其应用试证：当时,证：所以1、方程中的应用例8，设在内有连续三阶导数，且满足方程⑴试证：是一次或二次函数证：问题在于证明:，为此将（1）式对求导，注意与无关.我们有:(2)从而,令取极限，得若,由此为一
5、次函数;若,(2)式给出此式两端同时对求导，减去;除以,然后令取极限,即得;为二次函数2、在近似计算上的应用例9，计算的值，使其误差不超过.解：,由,得到81数学科学学院本科学年论文泰勒公式的展开及其应用有:故,当时,便有从而略去而求得的近似值为参考文献81数学科学学院本科学年论文泰勒公式的展开及其应用［1］华东师范大学数学系编,数学分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2001［2］高等教育出版社编，数学分析中的典型问题与方法(第二版)[M].北京：高等教育出版社,200681
