集合、函数、高次方程

《集合、函数、高次方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、(自主招生讲座)第一讲集合、函数、高次方程一、集合1．元素与集合的关系用描述法表示一个集合，基于下面的概括原则：任给一个性质P，那么存在一个集合S，它的元素恰好是具有性质P的一些对象，即.其中P(x)是“x具有性质P”的一个缩写.这个表示是强有力的，由此我们知道，判断一个对象x是否为集合S的元素，等价于判断x是否满足性质P.例1设集合A=（）.已知，判断与集合A的关系.解因为，且，所以.由此及得.从而知.所以，.2．两个集合之间的关系在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系.这些关

2、系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可以判断元素与这两个集合的关系入手.例2设函数，集合,.（1）证明：；（2）当时，求B.解（1）设任意，则.而，故.所以.（2）因，所以解得.故.由得，解得.所以.3．交集、并集、补集由交集和并集的定义，不难证明这两种集合运算的交换律和结合律.利用文氏图，可以验证下面的两个结论.分配律：,;摩尔根法则：例3已知集合问：（1）当a取何值时，为含有两个元素的集合？（2）当a取何值时，为含有三个元素的集合？解与分别为方程组（I）（II）的解集，由（I）解得；由（II

3、）解得.（1）使恰有两个元素的情况只有两种可能；①②由①得a=0；由②得a=1.故当a=0或1时，恰有两个元素.（2）使恰有三个元素的情况是，解得.故当时，恰有三个元素.由于解决某些集合和组合问题的需要，我们引进下面的内容.（1）命题的否定是四种命题中最麻烦的细节问题.下面是一些常见词语的否定：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，“都是”的否定是“不都是”，“所有”的否定是“某些”，“存在”的否定是“任意”，“或”的否定是“且”.（2）容斥原理：令｜A｜表示A中元素的个数，则.（3）德摩根定理：U是全集，.（4）给定两个

4、集合A，B，称集，且为A减B，记为.（5）设A，B是两个集合，称（）（）为A，B的对称差，有时记为.例4（2011复旦）设S是由任意个人组成的集合，如果S中任意4个人当中都至少有1个人认识其余3个人，那么，下面的判断中正确的是（）.（A）S中没有人认识S中所有的人（B）S中至少有1人认识S中所有的人（C）S中至多有2人不认识S中所有的人（D）S中至多有2人认识S中所有的人分析与解：如果设S中所有人都相互认识，显然这样的S符合题目条件，从而A、D都是错误的；又设a、b、c是S中的三个人，a、b、c中每个人都不认识其他任何人，

5、而除a、b、c之外其他n-3个人认识所有的人，显然这样的集合符合要求，故C是错误的.B的证明，首先，若任何两个人都互相认识，则显然成立；否则，不妨设甲、乙互相不认识（注：认识是相互的）.任取另外两个人，设为丙、丁.依题意知，甲、乙、丙、丁这四个人必有一人认识其余3人。显然，这个人不可能是甲，也不可能是乙，不妨设为丙，则丙认识丁（当然也认识甲和乙）.注意丙、丁是任取的两个人，故除甲、乙之外，其他任意两个人都相互认识.从而丙认识S中所有的人.故选B.例5（2008武大）有50名学生参加跳远和铅球两项测试，跳远和铅球测验成绩分别

6、及格的有40人和31人，两项测验成绩均不及格的有4人，两项测验成绩都及格的有多少人？分析与解：这是一道涉及容斥原理的试题.记A=｛跳远测验成绩及格的学生｝，B=｛铅球测验成绩及格的学生｝.依题意，｜A｜=40，｜B｜=31，两项测验成绩都及格的即为,又，由容斥原理，，故，即两项测验成绩及格的有25人.注：本题也可结合文氏图，设两项测验成绩都及格的有x人，有方程x+(31-x)+(40-x)+4=50，解得x=25.二、函数例6．设二次函数满足，且它的图像与y轴交于点，在x轴上截得的线段长为。求的解析式。讲解利用二次函数图像

7、的对称性，再结合它在x轴上截得的线段长为，知的图像与x轴的交点为、。因此，可利用零点式求解。设。由于二次函数的图像经过点，代入待定式求得。于是，即。说明在求二次函数的解析式时，要充分利用其图像的几何性质，灵活选取待定式，优化求解过程。求二次函数在闭区间上的最值，视二次函数图像的开口情况及其对称轴与闭区间的相对位置关系来判断二次函数在闭区间上的单调性，进而求最值。例7．已知二次函数在上的最小值为2。求的值。讲解注意到。易知其图像的开口向上，且对称轴为。于是，可按其对称轴与闭区间的三种位置关系分类求解。（1）当，即时，由题意。

8、解得或2，都与矛盾。所以，此时不存在。（2）当，即时，由题意。解得。（1）当，即时，由题意。解得。因为，所以，。综上，或。例8．已知是正整数，关于的一元二次方程的两实数根的绝对值均小于.求的最小值.讲解设、是方程的两根.由韦达定理有，.所以，.由，得.从而的两根.于是，可利用一元二次方程实根分布的相关知